討論：誤差與偏差的異同

                                討論：誤差與偏差的異同

                                                                                        史錦順

（一） 基本知識：貝塞爾公式的推導
《史法測量計量學》摘引


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（二）求測量值的平均值與期望值的距離
       令：
                     d_i = M_i – E     （隨機誤差）                              （1）
                     ν_i = M_i – M_平   （殘差）                                   （2）  
       記D是測得值的平均值與期望值的距離
                      D = (1/N)∑d_i                                                    （3）
       將D平方再開方（史法）。
                      D² = (1/N²)(∑d_i)²
                         = (1/N²) [∑(d_i)²+2∑d_id_j(i≠j) ]
       由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑d_id_j≈0。有
                     D² = (1/N²) (∑(d_i)²)               （4）
       《史法測量計量學》已證明，如（一）之（7.8式）：
                    ∑d_i² = [N/(N-1)]∑ν_i²                         （5）                                                                             
       將（5）代入（4）式，有
                     D² = (1/N²) [N/(N-1)]∑ν_i²
                       = (1/N) [(∑ν_i² )/(N-1)]
                       = (1/N) σ²
       得到：
                     D = σ / √N                                   （6）
       （6）是單值的正態分布曲線的結果。

       單值(M_i)的正態分布的鐘形曲線，有下列參量:
       1 測量值系列 M_i；
       2 測量值的平均值 M_平；
       3 標準偏差；
       4 平均值對期望值的偏離D = σ / √N；
       5 以平均值為中心、以3σ為半寬的區間包含概率是99.73%.
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      討論題：基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量），測量結果的表達，應有那些不同？
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請史老就基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量）先各列舉五個實例。

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【史錦順說明】主文有重要修改，重發如下。
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                               討論：誤差與偏差的異同

                                                                 史錦順

（一） 基本知識：貝塞爾公式的推導
《史法測量計量學》摘引

（接上）

（二）求測量值的平均值與期望值的距離     
       令：
                     d_i = M_i – E     （隨機誤差）                （1）
                     ν_i = M_i – M_平   （殘差）                    （2）  
       記D是測得值的平均值與期望值的距離（統計值）
                      D =(1/N)∑d_i                              （3）
       將D平方再開方（史法）。
                      D² = (1/N²)(∑di)²
                         = (1/N²) [∑(d_i)²+2∑d_id_j(i≠j) ]
       由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑d_id_j≈0。有
                     D² = (1/N²) (∑(d_i)²)                     （4）
       《史法測量計量學》已證明，如（一）之（7.8式）：
                    ∑d_i² = [N/(N-1)]∑ν_i ² ]                    （5）                                                                                
       將（5）代入（4）式，有
                     D² = (1/N²) [N/(N-1)]∑ν_i²
                       = (1/N) [(∑ν_i² )/(N-1)]
                       = (1/N) σ²
       得到：
                     D = σ / √N                                                              （6）
       （6）是單值的正態分布曲線的結果。

       單值(M )的正態分布的鐘形曲線，有下列參量:
       1 測量值系列 Mi；
       2 測量值的平均值 M_平；
       3 標準偏差 σ；
       4 量值平均值對期望值的偏離統計值 D = σ / √N；
       5  σ是標準偏差。3σ才是偏差范圍。因此平均值對期望值的偏離范圍是3D；
       6  以平均值為中心、以3σ為半寬的區間包含測量值（Mi）概率是99.73%；
       7  以平均值為中心、以3σ/√N 為半寬的區間包含期望值（E）的概率是99.73%.
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       討論題：基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量即講究的對象是隨機變量），測量結果的表達，應有哪些不同？

【  由于正態曲線（鐘形線）的對稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項數)有多大？  如果是"無窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項數樣本值"統計"出的"概率密度"已非常接近那個"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項數不說數千、也可能要大幾百！），大概成立； 如果項數只不過平常多見的數十項，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨立"---"互不相關"。……這些在"概率統計"理論中有明確論斷。

老師好,向老師學習中.已經收藏,待慢慢消化.

史錦順 發表于 2019-5-11 15:19
（接上）

（二）求測量值的平均值與期望值的距離     

請史老就基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量）先各列舉五個實例很難嗎？這么久了沒有看到。
那好，不舉基礎測量的了，只舉五個統計測量的實例。記得您說計量（檢定/校準）是統計測量，舉例來看看。

都成 發表于 2019-5-12 19:28
請史老就基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量是隨機變量）先各列舉五個實例很難嗎？這么久了沒有 ...

常量和隨機變量的概念問題還真需要議一議。

yeses 發表于 2019-5-14 07:38
常量和隨機變量的概念問題還真需要議一議。

這是史老的獨家觀點，是需要好好議一議，我們一起來。可是五六天過去了連個實例都舉不出來，怎么議？

補充內容 (2019-5-14 11:55):
到時也請“njlyx”先生來參議。

都成 發表于 2019-5-14 08:12
這是史老的獨家觀點，是需要好好議一議，我們一起來。可是五六天過去了連個實例都舉不出來，怎么議？

補 ...

如果絕對"較真"，所有被測"量"都具有"隨機"散布在一定范圍內的無窮多個"量值"，即都是所謂"隨機量"。

如果被測"量"的"量值"散布范圍"小"到實用可以忽略不計，便成了具有"唯一量值"的所謂"常量"。

所謂"常量"與所謂"隨機量"的"測量"是有區別的--

對于"常量"，"測量"一次就能得到有用的"測量結果"；"測量"多次，可以得到"更好"的（"不確定度"更小的）"測量結果"；

對于"隨機量"，只"測量"一次的"測量結果"是沒有"用"的，必須"測量"足夠多次，才能得到有用的"測量結果"。

無論是"常量"，還是"隨機量"，都可基于多次"測量"而進行"統計"。……不贊成史先生的"基礎測量"/"統計測量"分類。

njlyx 發表于 2019-5-14 22:09
如果絕對"較真"，所有被測"量"都具有"隨機"散布在一定范圍內的無窮多個"量值"，即都是所謂"隨機量"。

...

您說的很對。
關于史先生的"基礎測量"/"統計測量"分類我也不同意，三年前就討論過，他始終堅持，這是他的相關理論的基礎，至關重要。這里他又提出了“基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量即講究的對象是隨機變量）”的討論，我先讓他舉幾個實例，可不知什么原因遲遲舉不出來，要是很難就算了。

都成 發表于 2019-5-16 11:54
您說的很對。
關于史先生的"基礎測量"/"統計測量"分類我也不同意，三年前就討論過，他始終堅持，這是他的 ...

      如果不計較“基礎測量（被測量是常量）與統計測量（被測量即講究的對象是隨機變量）”（未能理解“被測量即講究的對象是隨機變量”的確切含義？）的“分類”必要性與命名適宜性，討論【 被測量是“常量”與被測量為“隨機變量”時，測量結果的表達，應有哪些不同？】，我認為是有意義的！

在經典“測量誤差理論”體系中——

    (1.1)   被測量X是“常量”時，“測量結果”是一個“測得值”D，附加“可能誤差范圍”E，即 X=D±E

         (1.1.1)  如果只測量1次，“測量結果”為  X=D1 ± Ey，其中，D1 為這1次測量的“示值”，Ey為所用測量儀器的示值誤差“極值”；

         (1.1.2)  如果“重復”測量n次，“測量結果”為  X=Da ± Ea，其中，Da=(D1+D2+...+Dn)/n，為這n次測量的“示值”的平均值；Ea=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys為所用測量儀器的示值誤差“極值”Ey的“系統分量”，Eyr為所用測量儀器的示值誤差“極值”Ey的“隨機分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ea≤Ey。

    (1.2)   如被測量X是“隨機變量”，“測量結果”至少要有兩個“測得值”： “平均值” Xa 的“測得值”d、“標準偏差”σ的“測得值”s，并附加“它們的可能誤差范圍”Ed、Es，即
                Xa =d±Ed ； σ=s ± E s。
        這樣的“測量結果”必須要多次“重復”測量才能得到！.....如果“重復”測量n次，則常取 d =(D1+D2+...+Dn)/n，為這n次測量的“示值”的平均值；Ed=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys為所用測量儀器示值誤差“極值”Ey的“系統分量”，Eyr為所用測量儀器示值誤差“極值”Ey的“隨機分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ed≤Ey；  s=√｛[（D1-d）^2+（D2-d）^2+...+（Dn-d）^2]/(n-1)}——即n次測量“示值”的所謂“實驗標準偏差”；  E s通常忽略不給出。

在概率論中，隨機變量僅僅指其值存在于一個概率區間的未知量，其所有可能取值構成一個隨機分布，由數學期望和方差二個參數來表達（當然還有概率密度函數）。當一個隨機變量的方差小到為0的時候，它就成了常量。常量是已知量，具有確切的數值。

被測量因為真值未知，所以都是隨機變量，即使其值客觀上處于恒定狀態。

隨機變量并不是僅指其數值客觀上處于隨時間隨機變化狀態。

將"客觀存在"與人類"認知"有意攪在一起可能引起很多混亂。……即便不能"絕對"分清（世上少有"絕對"正確的事），也應適當的"實用"區分。……所謂"常量"，還是宜以"其客觀取值實用近似唯一"為"準"，不論人們是否已經"知道"了它的"值"。   "不確定量"與"隨機量"是可以有所區分的，前者著眼人們對它的"認識狀態"，后者表達它的"客觀取值情況"。   雖然"絕對"的"常量"并不存在，但"實用"常量不會因為張三還不知道它的"值"而改"性"（在張三眼里，它還是個"不確定量"--不知道它的"值"究竟是多少？ 但張三"知道"它的"值"只會是3、4中的某一個，不會早3暮4。）

A知道C的成績是90分，90分就是常量。
B不知道C的成績，C的成績對于B來說就是隨機變量，可用C所在班級的全部成績統計出一個數學期望和方差來近似表達。

將"隨機量"的"樣本值"與"常量"混為一談了……

A知道C的成績是90分，"C的成績"對于A而言，是個"確定量"；B不知道C的成績，"C的成績"對于B來說，就是個"不確定量"； 對于這個"不確定量"，B如果知道"C所在班級的全部成績的統計特征值：數學期望、方差、…“，可由此獲得"C的成績"這個"不確定量"的"概率取值范圍"，因為"C的成績"是"所在班級成績"這個"隨機量（總體）"的一個"樣本"值。

一旦"評分"完成，"C的成績"就是一個"常量"了，無關A、B是否知道，它都是90分，不會變成其它分數。除非要"重新評分"，它才可能會變成一個"隨機量"。

樣本值就是常量，90分說破天都是常量。

概率本身就是主觀的東西，A知道了90分，概率就是100%；B不知道實際分數，才有概率問題。

用大量已知事件（100%概率）做統計，去評價一個未知事件的概率，這就是概率論的思維方式。

njlyx 發表于 2019-5-17 16:03
一旦"評分"完成，"C的成績"就是一個"常量"了，無關A、B是否知道，它都是90分，不會變成其它分數。除非要"重 ...

照這個邏輯，真值（測量實施時刻的真值）是常量。

但測量完成后測量結果也是常量，這樣誤差（最終唯一結果與真值之差）也是常量了。

njlyx 發表于 2019-5-17 15:53
A知道C的成績是90分，"C的成績"對于A而言，是個"確定量"；B不知道C的成績，"C的成績"對于B來說，就是個"不 ...

掌握的資料不同，給出的測量結果和不確定度評價就不同。

A：測量結果90分，不確定度0分。
B：用全班成績的平均作為近似測量結果，用方差作為不確定度評價。

樣本值都是常量，不可能用不確定的未知量作為統計樣本。就是說，過去把統計出的方差賦予每個常量嚴格說是錯誤的，這種做法實際是重新把每個樣本看作是未知不確定，但最后導致了一個悖論：最終測量結果---一個確定的常數---其方差不是0---還得把這個常數也重新看作是未知不確定---不然哪來不確定度？測量理論的邏輯糾纏不清了，這就是很多人難以理解不確定度概念的原因！

yeses 發表于 2019-5-18 07:04
照這個邏輯，真值（測量實施時刻的真值）是常量。

但測量完成后測量結果也是常量，這樣誤差（最終唯一結 ...

"常量"是基于"量"的"客觀屬性"定義的，現行的"（測量）不確定度"是對"量"的"客觀屬性"和人類"認識能力"的"綜合"指標。………"常量"有"(測量)不確定度"很正常---人類由于"認識能力/測量能力"的局限，或不知道這"常量"的具體值是多少？或得到它的一個"測得值"時也不知道相應"測量誤差"的具體值是多少？

      當被測量實用近似為"常量"時，什么"量"可能是"隨機量"呢？-----"測量系統"的"測量誤差"可能是"隨機量"，多次"重復測量"時其"取值"（樣本值）可能是"隨機變化"的，但人們不知道這些"樣本值"究竟具體是多少？ 相應的 "測得值"也可能是個"隨機量"，多次"重復測量"時它"取值"（樣本值）也是"隨機變化"的，人們可以得到一系列"參差不齊"的具體"樣本值"。由這兩個"隨機量"的"（測量）不確定度"可以"合成"被測"常量"的"測量不確定度"（此時，"測得值"這個"隨機量"也"測量系統"的"測量誤差"這個"隨機量"的"相關系數"應該大于0！）---這是"測量系統"的"測量誤差"有"隨機誤差分量"的情況！

       如果"測量系統"的"測量誤差"沒有"隨機誤差分量"，只有"系統誤差"分量，那么，當被測量實用近似為"常量"時，便不會出現"隨機量"了！……只有兩個"不知道確切值"的"常量"---"被測量"、"測量誤差"，和一個知道確切值的"常量"---"測得值"。

njlyx 發表于 2019-5-18 11:50
"常量"是基于"量"的"客觀屬性"定義的，現行的"（測量）不確定度"是對"量"的"客觀屬性"和人類"認識能力"的 ...

閱卷完成后90分的客觀屬性是常量，但B因為不知道學生的姓名而用全班的期望和方差作為其成績的估計值，我們不能說他的做法不正確吧？---那么，豈不是常量變成了隨機變量？

yeses 發表于 2019-5-18 12:01
閱卷完成后90分的客觀屬性是常量，但B因為不知道學生的姓名而用全班的期望和方差作為其成績的估計值，我 ...

你這是將兩個實際不同的"量"混為一談了： "C同學的成績"與"C同學所在班級任一個同學的成績"是兩個不同的"量"，前者只有一個可能的"取值"，是"常量"，后者有若干可能的"取值"，可算是所謂"隨機變量"。…………你為了"化解"【"常量"沒有"散布"，"方差"為0，怎么會有"測量不確定度"？】詰問，將"常量"與"確知其值的量"劃了等號，會干擾人們的若干"常識"，不妥。

"常量"的"（測量）不確定度"源于"測量能力"的"不足"---包括"測量儀器"本身性能"參量"的"隨機性"（是些"隨機量"）以及 "校準能力"的"不足"。

　　常量也好，隨機量也好，都是被測量，“保持不變”和“在一定范圍內變化著”是兩種被測量的基本特性。
　　但我認為被測“常量”應該是特定的“一個”量，“一個”量的量值在規定的時空條件下，是客觀存在且保持不變的恒定的量，測量結果與這個客觀存在保持不變的量的“真值”之差就叫做“誤差”，這個誤差以固定不變的“系統誤差”形式存在著。因此，對于保持不變的“一個常量”的測量結果應該給出測得值（誤差）和依據獲得測得值的全部信息評估得到的測量不確定度。被測常量的例子例如一個球形工件的直徑，一個回路的電壓，一種材質的抗拉強度，某軸外圓的圓度誤差等都屬于單一被測測量的測量問題。
　　被測“隨機量”則是指具有相似特性的“一堆”量。在規定的時空條件下，被測的這“一堆”量，因每個樣本的個性差異而使測量結果在一定的范圍內“隨機”變化著，人們可以求得“一堆”量的平均值和實驗標準差。平均值代表了一堆量的“期望”，是“眾望所歸”，但每個樣本量都或多或少偏離這個“期望”，在一定的“包含”概率下，偏離的區間半寬就是“隨機誤差”。人們只知道一堆量中有的偏大，有的偏小，但都不會逃出以這個半寬確定的區間范圍。因此，被測量為“一堆隨機量”時，我們給出的測量結果是算數平均值及其實驗標準偏差。被測隨機量的例子例如某個國家人的壽命，某條線路乘客數量，某個城市的交通擁堵時間，某班級每個學生可能的考試成績等等，均為一堆被測量的測量結果問題。
　　至于史老師所講的“誤差”與“偏差”的異同問題，我認為已經得到了大家共同認可，誤差和偏差絕對值相等而符號相反，偏差其實與修正值具有相同的作用。需要提醒的是在幾何量計量中，設計人員提出的計量要求以公稱值（名義值）為參考對象，規定了上下兩個允許誤差值，即上下兩個極限，分別稱為上偏差和下偏差。