從狄克遜準則中統(tǒng)計量公式幾何表示分析其構(gòu)成元素下標...

雜志社退稿，正好拿來給大家看，因為得不到需要的反饋，放這里也許有人有更好的辦法，所以歡迎批評指正。這文的主要目的是如何“看到”狄克遜公式中那幾個統(tǒng)計量是什么，因為要背的話，狄克遜公式一堆下標太麻煩了。
其實退稿正常，這東西不值一提，我也是野人獻曝，只不過對死活記不住公式的人有點用。
格式化文本見附件。

從狄克遜準則中統(tǒng)計量公式幾何表示分析其構(gòu)成元素下標的意義
在計量工作中，狄克遜（Dixon）準則（以下簡稱準則）是用于統(tǒng)計判別離群值的常用方法之一，被《GB/T 4883-2008 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理和解釋正態(tài)樣本離群值的判斷和處理》所采用的。根據(jù)重復(fù)觀測的次數(shù)不同，其統(tǒng)計量有四種不同的公式計算得出。四個公式的大體形式相似，只有式中每個元素的下標不同。如果不明白狄克遜準則的基本思想，只是靠死記硬背，極容易會混淆。本文將對狄克遜準則統(tǒng)計量公式其構(gòu)成的基本思想進行闡述，以此為依據(jù)用一維坐標的方式以幾何化的直觀表示，分析準則的統(tǒng)計公式的構(gòu)成和每個元素所代表意義，以便使其更容易理解和記憶。
離群值(outlier)，即所謂的異常值（abnormal value），又稱作“粗大誤差”，是指對一個被測量重復(fù)觀測所獲得的若干測量結(jié)果中，與其他值偏離較遠且不符合統(tǒng)計規(guī)律的個別值。其存在會歪曲測量結(jié)果，必須進行剔除。如果引發(fā)異常值的情況不屬于已知原因，僅僅是對某個偏離其他值較大的值進行懷疑，則要按照一定的統(tǒng)計準則進行。否則一旦靠主觀誤判剔除了僅僅反應(yīng)較大波動的測量結(jié)果，會得到虛假的分散性。常見的統(tǒng)計準則有拉依達準則、狄克遜準則和格拉布斯準則。而狄克遜準則適用于觀測次數(shù)在3到50次以內(nèi)的多個異常值的情況[1]。
狄克遜準則的使用方法是：將重復(fù)觀測所得的值按照從小到大的順序排列為：x1，x2，...，xn，其中n為重復(fù)觀測的次數(shù)，而xn為最大值，x1為最小值。按照以下幾種情況計算統(tǒng)計量γij或γ’ij：
①        在n=3～7的情況下： ,
②        在n=8～10的情況下： ,
③        在n=10～13的情況下： ,
④        在n≥14的情況下： ,
將以上的γ10，γ’10；…；…；γ22，γ’22分別化簡為γij，γ’ij。設(shè)D（α，n）為狄克遜檢驗的臨界值，當(dāng)γij>γ’ij，γij >D（α，n）時，xn為異常值；當(dāng)γij<γ’ij，γij >D（α，n）時，則x1為異常值，否則沒有異常值。這里可以看到，四種情況的四個公式非常類似，區(qū)別只是構(gòu)成公式的每一元素的下標不同，單純依靠機械記憶的話，非常容易混淆，所以只有理解了統(tǒng)計量計算公式構(gòu)成的基本思想，才能夠有效的記憶這四個公式。
狄克遜準則在本質(zhì)上來說是一種用極差比雙側(cè)檢驗來判別離群值的方法[2]。所以要搞清楚準則中統(tǒng)計量計算公式中每個元素的下標意義是什么，可以通過分析下標反映的是極差在一維坐標上長的大小度，以及其所代表哪一側(cè)的比值來獲得。
為了抽象和簡化，我們假設(shè)每兩個相鄰值之間的差值是等值的。且為了直觀顯示，我們假設(shè)n=10。因為x1到x10(xn)是從小到大的順序排列，所以視其為依次落在一個一維橫向坐標上的點。如下圖1中所示：

圖 1 觀測值的一維坐標表示
所謂的極差，是指一系列數(shù)值中最大值與最小值之差，當(dāng)這一系列數(shù)值按照順序排列時，極差在一維坐標上反映出來的是一段長度。例如選取x4、x5、x6三個數(shù)值作其極差，則極差值為x6-x4,反映在坐標軸上是x4到x6之間線段的長度，如圖2所示。

圖 2 極差在一維坐標上的表示
按照這個思想，我們把γ10所表示的長度用一維坐標表示后如圖3所示：

圖 3 γ10的一維坐標表示
γ10就是如圖所示右側(cè)的極值與整個極值的比值。同理，我們把所有的γij和γ’ij的也用一維坐標表示，則如下圖4所示：

圖 4 準則公式中所有γij或γ’ij值的一維坐標表示
從圖4中可以看出，準則中每種情況的公式不過是反映兩側(cè)不同側(cè)的極值比，只不過γij是右側(cè)較大值一端的比值，而γ’ij是左側(cè)較小值一端極值的比值。
有了公式整體的直觀表示以后，我們再觀察其下標的意義。其中γ10的分子部分為xn-xn-1,下標的第一個數(shù)字1表示xn和xn-1之間的長度；而下標的第二個數(shù)字0表示整個長度(xn-x1)與分母所代表的長度(xn-x1)差值為0。其他的統(tǒng)計量同理可得。
假設(shè)我們把γ的下標的第一個數(shù)字稱之為所含長度，代表要比較的那側(cè)的部分極差，而把γ下標的第二個數(shù)字稱之為整體余下長度，代表所要比較的那側(cè)整體減去下標第二位值后的極差，那么所有的公式的格式就可以統(tǒng)一抽象為：部分所含長度/剩余總體長度。
所以，如果要記憶準則的公式，可以概括為：先看右側(cè)（γij）再看左側(cè)（γ’ij），部分所含除以總體剩余。
舉例：γ’22的公式是對左側(cè)端（或者說小值端）的計算，其包含長度為2，所以分子為x3-x1；總體長度為減去2個項后的剩余，故分母為xn-2-x1。
樣本的觀測值是離散的，但是幾何表示的話，這些離散值不過是落在一維坐標上的一些點。本文為了直觀表示準則的統(tǒng)計公式中每個元素的下標的意義，只是理想的假設(shè)這些值是等差的。其實現(xiàn)實情況下，這些值一般為非等差的，但是并不影響下標所反映的一維坐標中次序的關(guān)系。通過對幾何表示的直觀觀察，更易理解“克遜準則在本質(zhì)上來說是一種用極差比雙側(cè)檢驗來判別離群值的方法”這句話所體現(xiàn)的基本思想，也更易記憶狄克遜準則統(tǒng)計量的計算公式。

參考文獻：
[1] 葉德培.一級注冊計量師基礎(chǔ)知識及專業(yè)實務(wù)[M]第三版.北京：中國質(zhì)檢出版社，2013．
[2] 熊艷艷，吳先球.粗大誤差四種判別準則的比較和應(yīng)用[J].大學(xué)物理實驗，2010，第23(1)：66-68

謝謝分享，不過還是很難記=。=請問，不同的次數(shù)為什么選取的公式不同呢？比如從n=7變成n=8，分母的選取減少了1個長度的原因的什么呢？臨界值中的a是什么意思？臨界值表是根據(jù)什么得出的？謝謝！

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-5-2 17:26
謝謝分享，不過還是很難記=。=請問，不同的次數(shù)為什么選取的公式不同呢？比如從n=7變成n=8，分母的選取減少 ...

根據(jù)計量師書上說的，a是概率吧。計算的時候，按要求a=0.05或者a=0.01

有時間寫一寫合成標準不確定度的傳播率那部分的知識，書上的學(xué)不太懂，都卡住好幾天了，一直算不明白，還請賜教

尖嘴猴腮 發(fā)表于 2017-5-3 21:51
根據(jù)計量師書上說的，a是概率吧。計算的時候，按要求a=0.05或者a=0.01

請問這個a=0.05的概率是啥意思呢？5%？正態(tài)分布的？

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-5-4 12:00
請問這個a=0.05的概率是啥意思呢？5%？正態(tài)分布的？

卡啊卡啊卡，網(wǎng)頁耍不粗來，我這幾天單位電腦有病毒了，周六日了我回家專門寫寫你說的問題。

尖嘴猴腮 發(fā)表于 2017-5-3 21:53
有時間寫一寫合成標準不確定度的傳播率那部分的知識，書上的學(xué)不太懂，都卡住好幾天了，一直算不明白，還請 ...

可是這個我也不怎么懂啊，我也只是在記住公式的基礎(chǔ)上而已

solarup 發(fā)表于 2017-5-4 17:43
卡啊卡啊卡，網(wǎng)頁耍不粗來，我這幾天單位電腦有病毒了，周六日了我回家專門寫寫你說的問題。 ...

好，周六等著看你的帖子

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-5-4 12:00
請問這個a=0.05的概率是啥意思呢？5%？正態(tài)分布的？

a=0.05，概率P=1-a=0.95
好像是這個意思

咨詢一個問題，比如說對一個被測對象在重復(fù)條件下測量了8次，得到8個觀測值，這10個觀測值中有兩個值是相同的，那么在運用狄克遜準則的時候，n=8還是n=7？謝謝！

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-5-4 12:00
請問這個a=0.05的概率是啥意思呢？5%？正態(tài)分布的？

α是顯著性水平，p是置信水平，α+p=1。因此α=0.05，就是置信水平取95% 。

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-5-2 17:26
謝謝分享，不過還是很難記=。=請問，不同的次數(shù)為什么選取的公式不同呢？比如從n=7變成n=8，分母的選取減少 ...

丑話說前頭，我以下的話，可能作用不大。只不過把我的思考過程寫下來而已。至于迪克遜準則怎么來的，我不知道，我只是知道我怎么理解的。
用軟件畫圖不易，這里手畫吧。畫的丑，將就啊。
α（希臘字母alpha，不是英文a），是置信度，意思是“置（于何種）信（任）（程）度”的意思。當(dāng)然還有置信水平，顯著性水平的，以及相關(guān)的包含區(qū)間，置信區(qū)間啥的，都是名字不同，其實意思上可能相近（甚至相反），反正教材不同你看到的不同，但是都是指那么一回事。（不信你看看大工上課的教材，α和別人的1-α是一回事）。總之這幾個概念和是1罷了。
α=0.01，那么可信任程度（包含概率）就是1-0.01=0.99（可信任程度為99%，值落入的可能是99%，諸如此類想法）。
個別書把那個0.99叫α
我們的幾個公式，都是針對正態(tài)分布而言，正態(tài)分布，單峰，對稱，μ決定位置，δ決定形狀。
如果要用迪克遜，那么α值可能為0.05或者0.01。問題是，如果α=0.99或0.95，那么k是幾？我們常說3δ準則，其實就是k=3，有3格δ事，就差不多是99%了。其實k=3我們大約是99.73%。k=2大約是95.45%。約等一下，99%和95%差不多了。
意思如下圖：

如果我們看δ這個字母，嘿，就是誤差啊，誤差誤差就是差啊，差還是長度啊，k就是有幾個這樣的長度啊。
迪克遜準則是從小到大排列的。
我們記得，平均值是μ的估計值，但是還有一個值，雖然不是無偏（差）估計值，但是也經(jīng)常作為一個估計值，那就是中值，只不過有偏差罷了。
所以，下面的話不過是為了容易理解，并非嚴格推導(dǎo)，而是抱著“雖不中，亦不遠的”心態(tài)來閱讀吧。
所以當(dāng)n=3時，就可以產(chǎn)生一個對稱的類似正態(tài)分布的曲線了。

這個時候把x₂-x₁當(dāng)作一個δ沒任何問題，因為是100%落入啊。問題是隨著n增加，δ會“變短”，這個時候要確定還是99%以上，就要用到那個3δ了。當(dāng)μ為幾的時候可能需要呢？當(dāng)然是4，因為此時左右各有三個δ。因為4是μ的估計是，作為中值時，n就為7

注意，這里的中值作為估計值不是無偏的，正態(tài)分布的觀測值也不會正好形成這么個曲線，不過是“類似”而已。
好了，如果n=8呢？中值是幾？嗯，我們可以把4~5中間的長度看作中值，反正長度也是一個值，然后把插空長看作值，那么還是類似正態(tài)的曲線。

問題，這里的δ不是x₂-x₁么？其實，還是那句話，約等。
同理：當(dāng)中值為5，n=9
當(dāng)中值為5~6，n=10
這個時候選取長度為δ，都可以保證比值≤1/3
那么，如果δ為2呢？類似于γ01的情景，不過當(dāng)時推導(dǎo)上限值為7，這次推導(dǎo)出上限值為13，為啥，看下面中值為7的情況
中值為6，n=11
中值為6~7，n=12
中值為7，n=13
畫圖也是這個意思：


有沒有看出來這幾個值啥意思...
不過說實話，這樣看，只是大概了解為什么這么干，但是對記n的值沒多大幫助，而且計算不精確（99%和99.73%還是差別蠻大的，同理95也是），所以我覺得沒有什么太深入的必要，不然你會對分段很難理解，特別是γ01的上限n值，要知道人家是精確的推導(dǎo)實驗來的，我這種可不是。
不過，按照這個思想，n的值為何為3、7、13還是蠻好記的，至于γ22的值就是大于13上的一個數(shù)嘛（14），γ01下限就是＞7上的一個數(shù)嘛（8），當(dāng)初我記這個就是γ01的沒管，γ11就是4~5到5~6為中值，γ21就是6、7為中值這么記的。

羅曼 發(fā)表于 2017-5-4 22:54
咨詢一個問題，比如說對一個被測對象在重復(fù)條件下測量了8次，得到8個觀測值，這10個觀測值中有兩個值是相同 ...

我知道的都是寫n為重復(fù)觀測次數(shù)
也就是n=8.不知道您是從何處得來的？還望指教。

尖嘴猴腮 發(fā)表于 2017-5-3 21:53
有時間寫一寫合成標準不確定度的傳播率那部分的知識，書上的學(xué)不太懂，都卡住好幾天了，一直算不明白，還請 ...

我不知道你說哪里有問題？
我覺得不確定度傳播率公式很好懂啊
就是各項靈敏度系數(shù)與不確定度的方和根
至于后面還有一個，我覺得協(xié)方差不就是相關(guān)聯(lián)帶來的方差嘛，你是兩個量的協(xié)方差，就要加兩次嘛，所以就是2倍的說。因為協(xié)方差也是兩個量的不確定度估計值乘積，所以就不要寫成方的形式了。
只是一點低劣的看法，不知可有探討之處？

solarup 發(fā)表于 2017-5-6 06:47
我知道的都是寫n為重復(fù)觀測次數(shù)
也就是n=8.不知道您是從何處得來的？還望指教。 ...

一級注冊計量師的大綱里面的案例分析題，我是按n=8次計算的，結(jié)果答案卻是按7次，所以我也不確定了。

羅曼 發(fā)表于 2017-5-6 11:32
一級注冊計量師的大綱里面的案例分析題，我是按n=8次計算的，結(jié)果答案卻是按7次，所以我也不確定了。 ...

能告知是哪個案列么？我也看書了，抱歉沒看到這個
我看的是案例3-6和3-7，沒有出現(xiàn)這種問題呢。

solarup 發(fā)表于 2017-5-6 14:50
能告知是哪個案列么？我也看書了，抱歉沒看到這個
我看的是案例3-6和3-7，沒有出現(xiàn)這種問題呢。 ...

周一發(fā)給你，書我沒帶回來。

《一級注冊計師資格考試大綱習(xí)題及案例詳解》這本書，第296頁，第三題的第3小問。你看看

吳下阿蒙 發(fā)表于 2017-5-2 17:26
謝謝分享，不過還是很難記=。=請問，不同的次數(shù)為什么選取的公式不同呢？比如從n=7變成n=8，分母的選取減少 ...

狄克遜準則  當(dāng)然是從 狄克遜的論文 推出來的。
狄克遜準則的論文一般認為是1950、1951的兩篇。
1、1950推出的論文《Analysis of Extreme Values》是講解準則的應(yīng)用，這解釋為什么出現(xiàn)分段的原因（r10、r11、r12、r20、r21、r22）。因為各區(qū)間里的性能（performance）高。
2、1951推出的論文《Ratios Involving Extreme Values 》是講解臨界值是如何來的。這涉及高階積分！能在1950年計算出來實屬不易。
后來在樓主提及的標準GBT 4883-2008 將n提高到100，而且精確到四位小數(shù)，使用的蒙特卡洛計算積分。當(dāng)然這也是2006年,老外的事情了
。不知道狄克遜當(dāng)年是不是也用這種方法。當(dāng)時蒙特卡洛方法剛剛從軍事（Atom Bomb）走下來，不過看狄克遜的論文也是與海軍研究院有聯(lián)系的
（這在4883-2008的參考文獻上）。

maple1314168 發(fā)表于 2017-5-8 09:40
狄克遜準則  當(dāng)然是從 狄克遜的論文 推出來的。
狄克遜準則的論文一般認為是1950、1951的兩篇。
1、1950 ...

呵呵，非常感謝！問這個問題時候就感覺這可能是經(jīng)過嚴密復(fù)雜的推導(dǎo)計算來的，只是好奇，果然超綱了=。=

solarup 發(fā)表于 2017-5-6 07:03
我不知道你說哪里有問題？
我覺得不確定度傳播率公式很好懂啊
就是各項靈敏度系數(shù)與不確定度的方和根

就是一遇到題就算不明白了，可能數(shù)學(xué)不好，對傳播率的公式理解的不到位吧

羅曼 發(fā)表于 2017-5-8 09:34
《一級注冊計師資格考試大綱習(xí)題及案例詳解》這本書，第296頁，第三題的第3小問。你看看 ...

我的書怎么才246頁，我是不是買到假書了

尖嘴猴腮 發(fā)表于 2017-5-8 22:15
就是一遇到題就算不明白了，可能數(shù)學(xué)不好，對傳播率的公式理解的不到位吧 ...

建議你找個典型的例題看看，結(jié)合題目記憶并理解傳播率公式，這樣可能效率高一些。咱們平時接觸的不確定度評定，我覺得還是挺“八股”的，基本是一個思路套公式。寫模型，算標準不確定度和靈敏系數(shù)，判斷相關(guān)性，合成，根據(jù)模型或測量方法判斷是否需要計算有效自由度或者直接取k=2。先多找點例題看看吧

尖嘴猴腮 發(fā)表于 2017-5-8 22:15
我的書怎么才246頁，我是不是買到假書了

你是不是看錯書了，是有一本課后題的答案，但我說的那本書，主編是黃耀文，副 主編是林景星，鄭黨兒，主審趙天川。你再看看。

羅曼 發(fā)表于 2017-5-8 09:34
《一級注冊計師資格考試大綱習(xí)題及案例詳解》這本書，第296頁，第三題的第3小問。你看看 ...

非常抱歉，第一次是我看錯書了，我以為是教材，誰知道是大綱。因為我的這本書放在家里了，前兩天沒回家，所以沒有及時回復(fù)。現(xiàn)在我找到了這道題，現(xiàn)在給你答復(fù)。
大綱中確實存在你說的問題。
但是對有相同值的情景，再教材和國標中，均給出的是n還是觀測次數(shù)，也就是大綱中的按照國標和教材應(yīng)該是8，即使有兩個數(shù)相同。
這只是照本念經(jīng)，其實我傾向于同值的按照一個去計算，原因嘛，和我上面寫的對n值選擇有關(guān)。不過我覺得那應(yīng)該再查找資料核實，我去找資料去。