論單值的標準偏差與平均值的標準偏差—— 兼答csln先生

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                           論單值的標準偏差與平均值的標準偏差
                                                    —— 兼答csln先生
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                                                                                                             史錦順
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【csln先生問】
       為什么計量檢定/計量校準時不確定度評定就該用單值σ呢？
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【史答】
       單值的標準偏差與平均值的標準偏差的區分與不同的應用，是測量計量的重要課題。一兩句話說不清楚。下面講述測量計量中的具體應用，一比較，就界限分明了。
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       人們的認識，人們的工作，都有對象與手段的問題。測量計量工作，同樣有對象和手段。
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       測量是用測量儀器來測知量值。量值是客觀存在，是測量的對象。儀器是工具，是測量的手段。但在計量中，被檢儀器卻是工作的對象。
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1 基礎測量
       經典測量學的測量對象是常量（有唯一的真值），我稱其為“基礎測量”。基礎測量理論研究的范疇是手段的問題，就是測量的誤差問題。測量誤差是測量儀器引入的。分析誤差，就是分析儀器的誤差。（在正常應用的條件下，環境等的影響，包含在儀器指標中。）
       儀器的誤差，是手段問題。手段不良，可以改善。多次測量取平均值，可以減小隨機誤差。σ變成σ_平。在基礎測量中，測得值是儀器示值的平均值M_平，隨機誤差范圍是3σ_平。
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2 統計測量
       統計測量的對象是隨機變量。被測量時刻在變化，每次采樣，各不相同。統計變量的表征量是：1）平均值；2）單值的σ；3)偏差范圍3σ（偏差范圍是量值與平均值的偏離的絕對值的最大可能值；3σ的包含概率，正態分布99.73%，通常可能夾雜有t分布，可估計包含概率為99%）。
       統計變量的代表值是平均值M_平，但不能用σ_平當量值分散性的表征量。σ_平的數學期望值是零，不能表征量值的分散性。σ的數學期望是常量，是分散性的表征量。
       用σ表達分散性，3σ(隨機偏差范圍)的包含概率大于99%.
       如果用σ_平，則偏差范圍3σ_平對隨機變量量值的包含概率很低。例如，測量次數N=100，3σ_平=3σ/10=0.3σ，其對量值的包含概率是23.6%（正態分布,概率密度函數積分值是0.1179）。
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3 對測量儀器的檢定
       判別測量儀器的合格性，是計量的基本任務。
       測量儀器的誤差范圍的指標值，由三部分構成。系統誤差、隨機誤差和長期穩定性。長期穩定性，有些儀器標出，如福祿克電壓表，高穩晶振。一般儀器的長期穩定度，不標出，但默認可略，就是要小于誤差范圍指標值的1/10。檢定中考核的對象是示值的系統誤差與隨機誤差。重點是系統誤差。
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3.1 計量的性質
       在測量中，測量儀器是手段，測量對象是量值（常量或統計變量）。
       在計量中，測量儀器是對象，計量的手段是計量標準（包括附屬設備）。
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       計量的操作，就是用計量標準確定被檢儀器的系統誤差值和隨機誤差范圍（3σ）。
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       對精密儀器的計量，示值有隨機變化，不能只測一次。多次測量的目的是對示值進行統計，以準確地測定系統誤差值，并統計出示值隨機誤差的最大可能值。測定系統誤差時的視在誤差范圍（以標準的標稱值B為參考），是3σ_平；測定系統誤差時的誤差范圍（以標準真值為參考）是測量儀器的3σ_平與計量標準的誤差范圍R_標的合成值（方和根值）。
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3.2 檢定的操作與計算
       統計方法找誤差元絕對值的最大值。
       設標準的真值為Z，標稱值為B，儀器示值為M_i，測量N次。
       1）求示值平均值M_平。
       2）按貝塞爾公式求單值的σ。
       3）求平均值的σ_平
                 σ_平= σ/√N
       4）求系統誤差視在值
                 β_視= M_平－B                                                                      （1）
       5）系統誤差的視在誤差范圍是3σ_平。
       6）單值隨機誤差范圍是3σ。
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3.3 示值誤差范圍的計算
       A 示值視在誤差（以標準標稱值為參考）計算
       視在誤差元
                 Δi = Mi – B
                    =(Mi – M_平) + (M_平 – B)
                    = ξi + β_視             
       視在誤差絕對值的最大值（視在誤差范圍）
                 |Δ|_max=√[β_視² +(3σ)²]                                                        （2）
       被檢測量儀器示值的視在誤差范圍由系統誤差范圍β視與示值的單值隨機誤差范圍3σ合成。
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3.4 合格性判別
       計量的誤差由計量標準的誤差范圍R標決定。
       A 合格的判別式
               |Δ|_max ≤ MPEV–R_標                                                                 （3）
       B 不合格判別式
               |Δ|_max ≥ MPEV + R_標                                                               （4）
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4 校準
       校準操作與檢定的操作相同。
       校準也應該給出合格性判斷（同于檢定）。
       校準的重點是給出修正值。
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4.1 修正值誤差的推導
       修正值C等于系統誤差值β的反號。
       系統誤差β定義為期望值EM與真值Z之差。
                 β = EM-Z                                                                                （5）
       測量時得到的系統誤差的視在值為β視，
                 β_視=M_平-B                                                                             （1）
       測量系統誤差時的誤差為：
                 r_β = β_視 - β
                     =(M_平- B) – (EM-Z)
                     = (M_平-EM) + (Z-B)                                                           （6）
       （6）式是誤差元公式。注意還應加上分辨力誤差。三項合成（取最大值的方和根值），誤差范圍為：
                 R_β =√[(3σ_平)² + R_標² +分辨力誤差²]                                                   （7）
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4.2 校準不確定度的實質
       當今，在不確定度理論指導下的校準，給出的修正值是（-β_視），而校準不確定度，就類似于（7）式，包含內容就是（7）式包含的三項。（置信因子不同；這里是“范圍合成”，不確定度理論繞路用方差合成。）
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       通常，擴展不確定度相當于儀器誤差范圍（包含概率有差別；物理意義相同）。而校準中給出的擴展不確定度U₉₅，是計量部門確定系統誤差時的誤差范圍（即修正值的誤差范圍），這個值是有用的，用以判別該不該修正：如果R_β/β≤1/3，修正有意義；如果R_β與β大小差不多，就沒必要修正；而當R_β比β大時，則修正加大誤差，修正就是錯誤操作了。
       當前校準業務給出的不確定度，不是通常意義的被檢儀器的示值的包含被測量真值區間的半寬，而是測定系統誤差時的誤差范圍，是上級計量機構的測量能力。此點在廣大用戶中，引起理解與應用中的很多混亂。這是不確定度理論的“混沌性”的一種。
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       醫院該告知的是病人的病情；現在醫院給出醫生的健康狀態，怎能不引起誤解？
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借史老的帖子轉發 “《通用計量術語及定義》JJF1001-2011規范修訂中最突出的變化 -學習JJF1001-2011規范的體會和認識之一”（作者 金華彰）一文中的一段話：

一﹑VIM第3版是包容不同觀點的折中方案
ISO/IEC GUIDE 99:2007《國際計量學詞匯-基礎通用的概念和相關術語》﹙VIM第3版﹚，據了解在修訂中遇到了很大困難，主要是對真值的概念和作用；測量的目的；如何定義測量結果；如何描述測量的質量，存在著不同認識，所以VIM第3版是包容不同觀點的折中方案。現實中對測量有3種描述方法，并在不同領域中正在廣乏使用，同時又提出了第4種折中方案，即：1.經典方法﹙即誤差方法﹚；2.GUM關于測量不確定度方法；3.IEC測量結果的兼容性方法；4.約定值混合法（將誤差與不確定度同時使用的方法）。VIM第3版實際上采用了誤差與不確定度同時并存的第四種方法。

第4種方法，即約定值混合法。
約定值混合法就是鑒于“誤差”一詞的使用仍然如此廣泛，因此保留了該術語，用“誤差”同時引入“不確定度”，即“誤差”和“不確定度”同時使用，以判定被測量值是否附合要求或法律規定的方法，稱“約定值混合法”。
該方法分為二步：
1）.第一步，用更高等級的計量標準對測量標準進行校準，該測量標準得到的測得值的平均值稱為約定值，該給出的約定值是具有不確定度的；
2）.第二步，用上述測量標準第二次去校準低等級的計量器具時，可用約定值來評定誤差，這種誤差可用數字表示，即相對約定值的差。可從低等級的計量器具上得到的測得值與測量標準約定值之差，它是被校準計量器具的系統誤差中的己知部分。測得值的誤差由系統誤差中的未知部分、系統誤差中的己知部分及隨機誤差三部分組成。約定值混合法的優點是當約定值不確定度很小時可以直觀的使用，即被評定的低等級的計量器具的示值誤差在其最大允許誤差限內時，即可判定為合格，不需要進行不確定度分析。
實例：用標準法碼校準一個秤，砝碼為經過高等級標準校準過的測量標準，秤為低等級的計量器具。秤的示值可和標準法碼的約定值比較，即示值－約定值（即標準值）＝示值誤差，可知誤差和法律法規最大允許誤差比較，就可決定秤是否附合要求。
約定值混合法當約定值的不確定度很小時可以使用。這種方法使用直觀實用，對準確度高的計量標準用不確定度評定，既科學合理又全面；而對準確度低的計量器具開展檢定或校準用誤差方法既方便又實用，尤其對制造計量器具生產廠對產品進行出廠檢驗，和開展計量器具首次檢定或隨后檢定或校準都十分方便。這是一種現實可行的實用方法，避兔使用真值或約定真值，而用約定值，而得到了大家的認可和接受，在術語上進行了協調。我理解，誤差和不確定度并存，是VIM第3版最突出的變化。

統計變量的代表值是平均值M平，但不能用σ平當量值分散性的表征量。σ平的數學期望值是零，不能表征量值的分散性。σ的數學期望是常量，是分散性的表征量。
       用σ表達分散性，3σ(隨機偏差范圍)的包含概率大于99%.

贊同！！

但重點是“校準/檢定”是屬于“基礎測量”還是屬于“統計測量”呢？

       先生目前對校準不確定度實質的看法，跟我基本一致了。判定問題我的看法是，校準機構本質上是檢測機構，就好比醫院的體檢中心，只給體檢報告,不給出具體的醫療判定，更不用給出治療方法，最多給些合理性建議，判定加醫治（對儀器來說就是維修）由其它更專業的部門的人來完成，判定步驟肯定是有的，只是不一定要由校準機構進行了，給了客戶在使用上很大的自由性。如果客戶需要檢測和判定一起進行，那他直接要求出檢定證書就可以了啊，體現我國雙軌制的優越性，強制檢定的儀器更不用客戶說，那是必須是有判定結果的。

關于兩類測量的問題，論壇上已爭論過N次了，不想說什么，但既然史先生提到了我，就不得不回復

先不論兩類測量劃分有沒有意義，但說計量是統計測量根本就站不住腳

比如用一臺5730A檢定3440A，按史先生的分類，是統計測量，若是用3458A檢定一只標準電阻，還是統計測量嗎？用量塊比較儀和標準量塊檢定量塊呢？用電子天平檢定標準砝碼呢？

何必 發表于 2016-11-30 09:43
統計變量的代表值是平均值M平，但不能用σ平當量值分散性的表征量。σ平的數學期望值是零，不能表征量值的 ...

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                               有隨機誤差的儀器的計量是統計測量
                                                      —— 答何必先生
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                                                                                                               史錦順
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（一）關于兩類測量
       關于兩類測量（基礎測量與統計測量）的學術思想，是我提出來的。在認知量值的應用測量場合，是客觀的、嚴格的。其應用意義也是明顯的。任何搞測量的人都應該明白，應該會運用。
       要點：
       1 基礎測量
       被測量是常量（有唯一真值），測量儀器有誤差。此時測量儀器的示值的隨機變化，由測量儀器引入，是手段的問題。手段不良可以改進。改進方法是進行重復測量。重復測量N次，計算單值的標準誤差σ；σ除以根號N,得平均值的標準誤差σ_平，隨機誤差范圍縮小至1/√N.
       用示值的平均值M_平為被測量的測得值，隨機誤差范圍是3σ_平.
       以上知識與操作，測量者都懂得。我寫出來，是為與下一條相比較。
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       2 統計測量
       被測量是統計變量（隨機變化的量）。測量儀器的誤差范圍遠小于統計變量的變化范圍。測量誤差可略，測得值各個是相對真值，就是被測量的量值（簡稱量值）。
       量值的變化，是被測量本身的變化，是對象的問題。對象的問題，必須如實反映，不能人為地縮小。計算出的σ，就是量值分散性的表征量，不能除以根號N.
       有人說：取單值，用單值的標準偏差σ；取平均值，用平均值的標準偏差σ_平。這個說法是錯誤的。多次測量后要用平均值M_平代表被測的量值，但表征量值分散性的是σ，而不是σ_平。對正態分布，區間[M_平-3σ，M_平+3σ]對量值的包含概率是99.73%；而區間[M_平-3σ_平，M_平+3σ_平]對量值的包含概率，N=100時是23.6%.
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       GUM引出不確定度概念時，稱σ_平為標準不確定度。這對基礎測量的隨機誤差是可以的；但對統計測量，錯了。統計變量的分散性的表征是單值的σ，而不是σ_平。就是說，在統計測量場合，標準不確定度的定義不成立。
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       有了“兩類測量”的概念，就可以判斷當今的當家理論不確定度理論，對統計測量來說，基本定義錯了。僅憑這一點，就說明“兩類測量”概念的功力不小。
       炮制不確定度論的幾個美國人，以及制定中國國家計量規范的各位權威人物，都不懂得區分兩類測量，否則不會出現如此簡單的錯誤。
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（二）對有隨機誤差的儀器的計量是統計測量
       兩類測量劃分的思想，我是在二十五年前就有的。其中的統計測量不能剔除異常數據、統計測量的σ不能除以根號N，在重要工程中發揮過作用，受到軍代表丁國禎教授在鑒定會上的肯定與稱贊。但，那時僅限于測量領域。
       大約在2011年，我寫系列宣傳測量計量新概念文章時，想到兩類測量的思想，可以推廣到計量。
       在網上說出“計量是統計測量”這個想法后，反對者頗多。反對最力的是都成先生。僅有國家計量院的崔偉群先生贊成“計量不能剔除異常數據，因為數據異常可能是儀器有毛病”這一條。
       如果我當時說：“對有隨機誤差的測量儀器的計量是統計測量”，大概就容易被接受些。可惜，今天才想出。何必先生發問，推了我一把。
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       我曾把基礎測量與統計測量區分的條件推廣，就是看手段的指標與對象的指標二者的比較。手段的指標遠小于對象的指標，就是“統計測量”。
       計量符合廣義的條件，因此應稱“計量是廣義統計測量”。
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       為了如實反映計量的實際，一種辦法是擴大統計測量概念的范圍；另一種辦法是縮小被檢對象范圍。可以說：計量是廣義統計測量；也可以說：對有隨機誤差的儀器的計量是統計測量。這次我把說法，換成最后這第三種，如標題：有隨機誤差的儀器的計量是統計測量，不知能否被接受。
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       有不同意見，與個人的經歷、水平有關；但更主要的是事物本身的復雜性。在“誤差”概念的家族中，有幾十種名稱，各有其作用。在不確定度概念的家族中，僅有標準不確定度、合成不確定度、擴展不確定度三個，而且是順序處理中的三個階段，本質只有一個概念，就叫測量不確定度。一個概念，如何應付眾多的需要？于是就出現大量的混淆。上級校準給出的“不確定度”，規矩灣說是可信度，有人說是示值的不確定度。老史幾個月前才明確算出是測定系統誤差時的誤差范圍。可以叫“系統誤差的不確定度”，但沒人這樣說。不確定度的宣貫中是不允許稱說“系統誤差”的。不確定度論誤人誤事。
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       回到前題。鑒于對“計量是統計測量”的異議頗多，主帖沒有提及這個說法，而是直接論述兩個σ的區分。其實，有明確的“兩類測量”的概念，就不會忽視兩個σ的區分。
       兩類測量的思想，見仁見智，贊成還是反對都無所謂，因為僅僅是認識方法。而測量計量應該怎樣表達才是本質問題。兩個σ必須區分，表達上的不妥，必須糾正。
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       老史基于兩類測量的思想，明確指出：儀器指標中的隨機誤差范圍，必須是3σ；檢定中的|Δ|_max必須包括3σ，而不是3σ_平。校準中的合格性判別（CNAS稱符合性聲明），也必須如此。
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       校準后，儀器性能指標的表達，不論修正還是不修正，都應該包括3σ.
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史錦順 發表于 2016-12-1 15:12
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                               有隨機誤差的儀器的計量是統計測量
                                  ...

       首先，史老寫的一些文章、觀念對我學習起了很大的幫助，先表示感謝！也基本贊同史老提出的“關于兩類測量”的劃分。
      
       其次， 隨機變量分散性的表征量值是σ，而不是σ平，我想學過統計學的人應該都能夠理解的。

       再次，之前史老說“計量（校準/檢定）”屬于“統計測量”的這種情況對于校準/檢定實物量具好像解釋不同，所以才有如此疑問。

       最后，對“有隨機誤差的儀器的計量是統計測量”的情況，個人暫時接受，因為暫時還找不出反證的例子！

一個概念，如何應付眾多的需要？于是就出現大量的混淆。上級校準給出的“不確定度”，規矩灣說是可信度，有人說是示值的不確定度。老史幾個月前才明確算出是測定系統誤差時的誤差范圍。可以叫“系統誤差的不確定度”，但沒人這樣說。不確定度的宣貫中是不允許稱說“系統誤差”的。不確定度論誤人誤事。

老史幾個月前才明確算出是測定系統誤差時的誤差范圍。可以叫“系統誤差的不確定度”，已經非常接近JJF 1059不確定度的物理意義了，不確定度本質是測量結果（測量值）可能存在的區間，對于檢定，理解成測量系統誤差時的誤差范圍有道理，不過測量結果不一定是系統誤差，也可能只有隨機誤差，對于校準就未必了，大多校準根本就不計算誤差，說是測定系統誤差時的誤差范圍就牽強了，不過值是相同的，JJF 1059.1的例子中已經很明確示值誤差、校準值、修正值具有相同的不確定度

既然幾個月前才明確算出是這樣，那過去對不確定度質疑和批判莫非就沒有需要更正的

史錦順 發表于 2016-12-1 15:12
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                               有隨機誤差的儀器的計量是統計測量
                                  ...

此貼刪除。

史錦順 發表于 2016-12-1 15:12
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                               有隨機誤差的儀器的計量是統計測量
                                  ...

先向史老問一聲好！
關于“計量是統計測量”和 “交叉系數”是否可用，在春節剛過時向您做了最后陳述，我的觀點至今未變，這是您的兩大敗筆，在這兩大敗筆的引導下又產生了許多次生錯誤觀點，這里我不想再做重復論證，您對我以前的帖子應該歷歷在目，可以自己翻閱。
您說：“在網上說出“計量是統計測量”這個想法后，反對者頗多。反對最力的是都成先生。僅有國家計量院的崔偉群先生贊成“計量不能剔除異常數據，因為數據異常可能是儀器有毛病”這一條。”
很明顯，這里崔先生沒有贊成您“計量是統計測量”的觀點，csln先生也不贊成，還有多少人也不贊成，您應該比我更清楚，您應該好好審視。“交叉系數”也是如此。
近一年來我沒怎么發帖，因為沒有多少新東西和新觀點，說多了別人又說炒冷飯，只是前些日將發表的兩篇文章貼出來，供大家參考，這也是近兩年對發帖的一點總結，還有一篇論述測量不確定度與誤差理論關系的文章，將在《計量學報》2017年第1期發表，到時再貼出來供參考。
測量不確定度就是測量結果可能誤差的度量。
測量不確定度評定與表示（GUM、1059、1059.1）就是對誤差理論相關內容的發展和取代（從概念和處理方法上）。
史老您用了“誤差元”和“誤差范圍”的概念與“誤差”和“不確定度”相對應，您的這種發展處理好了估計也可以，只是“計量是統計測量”和 “交叉系數”的兩大敗筆促使您錯誤的批判不確定度論，也會使您的理論發展不科學。望您老三思。

測量不確定怎么通俗的來定義是個問題，由于“測量結果的最佳估計值”±U”=”包含區間“。我認為稱之為：U是“包含區間”半寬度的絕對值，也很通俗易懂，前提是"包含區間”是對稱的，由于有非對稱情況的存在，還不能一律這么理解。或者稱之為“最佳估計值暫時無法進一步確定的程度，是包含區間的組成部分之一”，但這樣聽起來又不是那么直觀了。

csln 發表于 2016-11-30 15:16
關于兩類測量的問題，論壇上已爭論過N次了，不想說什么，但既然史先生提到了我，就不得不回復

先不論兩類 ...

經典誤差理論中確有提到不用σ平的，但與所謂基礎測量、統計測量無關，情況是：如果被測對象的值是不穩定的，測量裝置的重復性相對來說很好，則用σ表征被測對象值的隨機波動性或穩定性，因為被測量的平均值測量中捕捉不到，本質上平均值就不存在，n次測量實際是對n個不同量值的測量，自然不能用σ平來表征，比如頻率源的穩定性的表征。（見肖明耀先生著《誤差理論與應用》，計量出版社，1985年8月版，P60）

σ平的極限是0，本來就是理所當然的事，如果一個被測量的值存在平均值，有人愿意進行無窮多次測量，自然就不存在N個測量次數n為無窮大的平均值，只有一個平均值，其分散性當然是0