標(biāo)準(zhǔn)偏差概念，您確定很理解它嗎？

武漢大學(xué) 葉曉明

論文《The new concepts of measurement error theory》（Measurement, Volume 83, April 2016,Pages 96–105）的早期中文版曾投往國(guó)內(nèi)某權(quán)威測(cè)量學(xué)報(bào)，其中有一段關(guān)于精度（精密度，precision）概念并非發(fā)散度的論述，強(qiáng)調(diào)單一測(cè)量結(jié)果并不存在離散問題。但是，這個(gè)版本卻被審稿人直接以現(xiàn)有文獻(xiàn)為依據(jù)給否定了，審稿人認(rèn)為我連測(cè)繪學(xué)的精度概念都沒有理解清楚。

也許您也會(huì)說(shuō)，精度可不就是測(cè)量結(jié)果的發(fā)散度嗎？現(xiàn)有教科書、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（包括國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)）等不都是把標(biāo)準(zhǔn)偏差解釋成分散度或分散性嗎？那么，我這里只能很遺憾地告訴您，您也沒有真正理解標(biāo)準(zhǔn)偏差的概念內(nèi)涵。而且，不僅您，當(dāng)前測(cè)量界真正正確地理解這個(gè)概念的人并不多。教科書、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（包括國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)）等都把標(biāo)準(zhǔn)偏差解釋成了測(cè)量結(jié)果的分散度或分散性，恰恰就說(shuō)明了這個(gè)事實(shí)。

標(biāo)準(zhǔn)偏差是概率論中的概念，其定義就是σ2=E(X-EX)2。在現(xiàn)代測(cè)量中，既用它表達(dá)精度（精密度），又用它表達(dá)不確定度。但無(wú)論是精度還是不確定度，人們的思維總跟“離散度”、“發(fā)散性”糾結(jié)在一起，這些字眼在精度和不確定度的概念定義中都能看到。雖然有些學(xué)者已經(jīng)注意到一個(gè)唯一的測(cè)量結(jié)果沒有發(fā)散性問題，卻又想當(dāng)然地把它理解成未來(lái)重復(fù)測(cè)量結(jié)果的發(fā)散度，這仍然是個(gè)錯(cuò)誤的理解。

標(biāo)準(zhǔn)偏差的概念解釋是現(xiàn)有測(cè)量理論的一大敗筆，作者在《現(xiàn)有測(cè)量學(xué)理論的幾大敗筆》（科學(xué)網(wǎng)電子雜志2016第451期）中也曾以珠峰高程結(jié)果8844.43米、標(biāo)準(zhǔn)偏差±0.21米為例指出過(guò)這個(gè)問題：

1、一個(gè)唯一的8844.43是沒有發(fā)散之說(shuō)的。

2、也不能解釋成未來(lái)同樣測(cè)量條件下重復(fù)測(cè)量結(jié)果序列的發(fā)散度。因?yàn)槿绻瑯訙y(cè)量條件下重復(fù)測(cè)量，重復(fù)測(cè)量中各種測(cè)量條件（包括儀器內(nèi)外各種環(huán)境條件、操作者的主觀條件等）都保持絕對(duì)不變（這實(shí)際不能實(shí)現(xiàn)），那必然是，每個(gè)測(cè)量的誤差形成過(guò)程一模一樣，測(cè)量結(jié)果將永遠(yuǎn)是8844.43同一結(jié)果，測(cè)量結(jié)果序列也就不可能發(fā)散，離散度當(dāng)然就是0。但每個(gè)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差卻都仍然還是±0.21，因?yàn)槊總€(gè)測(cè)量過(guò)程都是一模一樣。

3、也不能解釋成未來(lái)不同測(cè)量條件下重復(fù)測(cè)量結(jié)果序列的發(fā)散度。因?yàn)槿绻看伟床煌瑮l件進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果雖然會(huì)表現(xiàn)離散，但那跟當(dāng)前的標(biāo)準(zhǔn)偏差沒有聯(lián)系。如果測(cè)量條件變化太隨意，結(jié)果序列必然過(guò)分離散；如果測(cè)量條件變化太少，離散度又將非常小；究竟多少變化條件剛好使離散度正好是±0.21米？只有天知道。

用珠峰高程做實(shí)驗(yàn)不現(xiàn)實(shí)，但用一個(gè)電子秤做個(gè)稱重實(shí)驗(yàn)總還容易實(shí)現(xiàn)。用電子秤的MPE（最大允許誤差）做依據(jù)分析出其稱量的某個(gè)重物重量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，然后分別用同樣條件、不同條件重復(fù)測(cè)量試試看？看看重復(fù)測(cè)量的分散度跟前邊的標(biāo)準(zhǔn)偏差能吻合否？

那么，標(biāo)準(zhǔn)偏差概念的正確解釋究竟應(yīng)該是怎樣的呢？

首先，我們得看看概率論是做什么的。很顯然，概率論研究的是一個(gè)未知事件的概率。一個(gè)已知事件是不存在概率問題的，一批已知事件也同樣不存在概率問題，事件都已經(jīng)是確鑿已知的那還有什么概率可談呢？

其次，一個(gè)未知事件一定只能只有一個(gè)結(jié)果，如果這個(gè)事件的演變過(guò)程的來(lái)龍去脈規(guī)律都被人類完全掌握，那么這個(gè)結(jié)果就完全可以推定出來(lái)，就當(dāng)然也不需要概率論了。而事實(shí)是，人類對(duì)各種自然規(guī)律的掌握只能做到有限，仍然有許多微觀細(xì)節(jié)的過(guò)程不能完全掌控，這些沒有掌控的過(guò)程是模糊不確定的，或者已經(jīng)掌控的過(guò)程中仍然存在沒有完全掌控的模糊成分，甚至人們有時(shí)還有意地對(duì)已經(jīng)掌握的規(guī)律過(guò)程也按模糊過(guò)程來(lái)處理。這些模糊的過(guò)程條件對(duì)結(jié)果的概率區(qū)間的影響畢竟都是有限的，這就是人類研究概率論的原因。就是說(shuō)，事件結(jié)果未知不確定的根源是過(guò)程的模糊不確定，模糊不確定的過(guò)程條件當(dāng)然就不能扯什么“同樣條件”字眼了。誰(shuí)能保證硬幣的從拋出到著地的所有條件過(guò)程每次都是一模一樣？

那么，概率論是如何對(duì)一個(gè)未知事件的概率進(jìn)行研究的呢？答案是，實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)和原理分析相結(jié)合。根據(jù)硬幣二面等概率原理推定拋擲試驗(yàn)中各面朝上概率是50%，這就是原理分析；而根據(jù)大量拋擲實(shí)驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得出各面朝上概率是50%，這就是實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)。而諸如方差傳播律等也是原理分析方面的重要規(guī)律。

標(biāo)準(zhǔn)偏差的概念定義σ2=E(X-EX)2表達(dá)的實(shí)際就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)原理而已，通過(guò)對(duì)一批已知測(cè)量結(jié)果的離散性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，評(píng)價(jià)其中任意一個(gè)測(cè)量結(jié)果單獨(dú)發(fā)生時(shí)所存在的概率區(qū)間，這才是分散性和概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系。獲得一個(gè)測(cè)量結(jié)果序列{Xi}（實(shí)驗(yàn)樣本），通過(guò)σ2=E(X-EX)2計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，這樣，對(duì)于任意一個(gè)獨(dú)立發(fā)生的測(cè)量結(jié)果Xi來(lái)說(shuō)，它就一定存在于一個(gè)以EX為數(shù)學(xué)期望以σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差的概率區(qū)間內(nèi)。就是說(shuō)，當(dāng)任意一個(gè)獨(dú)立的測(cè)量結(jié)果Xi被給定了以后，獨(dú)立測(cè)量結(jié)果與數(shù)學(xué)期望之差Xi-EX是個(gè)恒差，這個(gè)恒差存在于一個(gè)以0為數(shù)學(xué)期望以σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差的概率區(qū)間內(nèi)。也就是說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是誤差Xi-EX所存在的概率區(qū)間的評(píng)價(jià)值，它表達(dá)誤差Xi-EX在概率區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)都有存在的可能，只是概率各不相同。但請(qǐng)?zhí)貏e注意，這并不是說(shuō)誤差在概率區(qū)間內(nèi)隨時(shí)間隨機(jī)不停地變化——絕對(duì)不可以這樣偷換概念！

因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果序列{Xi}的獲取過(guò)程是存在模糊條件的，每一個(gè)Xi的形成條件都實(shí)際上存在差異，未來(lái)的測(cè)量條件與當(dāng)前測(cè)量條件無(wú)法建立確鑿的比擬關(guān)系，我們自然不必要把當(dāng)前的標(biāo)準(zhǔn)偏差和未來(lái)的測(cè)量結(jié)果糾纏在一起說(shuō)事。我們只需說(shuō)，在當(dāng)前已有的n個(gè)Xi樣本中，任何一個(gè)獨(dú)立樣本與數(shù)學(xué)期望之差Xi-EX的標(biāo)準(zhǔn)偏差都是σ。這就足夠了。未來(lái)的測(cè)量自然有未來(lái)的測(cè)量結(jié)果，自然也會(huì)有它相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差評(píng)價(jià)，是另外一回事情。

而進(jìn)一步的事實(shí)是，當(dāng)人們?cè)跍y(cè)量實(shí)踐中獲取了n個(gè)離散的測(cè)量結(jié)果Xi的時(shí)候，這時(shí)必須按照一定的準(zhǔn)則給出最佳唯一測(cè)量結(jié)果（測(cè)繪學(xué)叫平差）。譬如:按最小二乘原理可得出最佳唯一測(cè)量結(jié)果為其均值Y=(X1+X2+…+Xn)/n，根據(jù)方差傳播律，這時(shí)唯一測(cè)量結(jié)果Y與數(shù)學(xué)期望之差Y-EX的標(biāo)準(zhǔn)偏差就是σ/√n了。

最終唯一測(cè)量結(jié)果與數(shù)學(xué)期望之差是個(gè)未知的恒差，這個(gè)恒差的大小程度用標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)描述，標(biāo)準(zhǔn)偏差是一個(gè)含有概率意義的誤差存在范圍的概念，這才是標(biāo)準(zhǔn)偏差的概念實(shí)質(zhì)。人們過(guò)去的誤區(qū)就是只注意到分散性統(tǒng)計(jì)，甚至跟什么白噪聲等聯(lián)系起來(lái)，而忽視了分散性統(tǒng)計(jì)的真實(shí)目的——評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量結(jié)果的一個(gè)未知誤差的概率區(qū)間。把標(biāo)準(zhǔn)偏差、精度、不確定度等定義為分散性評(píng)價(jià)自然就不妥了。

現(xiàn)在，測(cè)量結(jié)果與數(shù)學(xué)期望之差——所謂的隨機(jī)誤差是個(gè)未知的恒差，這個(gè)恒差的大小程度可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)評(píng)價(jià)。那么，一個(gè)更進(jìn)一步的問題是，數(shù)學(xué)期望與真值之差——所謂的系統(tǒng)誤差也是個(gè)未知的恒差，是否也可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)評(píng)價(jià)呢？答案當(dāng)然是肯定的，這只需站在造成這個(gè)恒差的上游測(cè)量的角度看問題即可，而所有上游測(cè)量那里的測(cè)量統(tǒng)計(jì)分析的過(guò)程和當(dāng)前測(cè)量過(guò)程在本質(zhì)上實(shí)際是完全相同的。

當(dāng)您理解到這里的時(shí)候，請(qǐng)接受我的歡迎，您已經(jīng)走上了我的新概念誤差理論的主體思路：誤差都是恒差(站在給定測(cè)量結(jié)果的角度)、都遵循隨機(jī)分布且都有標(biāo)準(zhǔn)偏差評(píng)價(jià)其概率區(qū)間，誤差不存在是否遵循隨機(jī)分布的系統(tǒng)和隨機(jī)類別之分；誤差合成——代數(shù)法則，標(biāo)準(zhǔn)偏差合成——概率法則；精度、正確度和準(zhǔn)確度就該作廢了，不確定度就有了很明確的概念內(nèi)涵了。


2016 6 12首發(fā)科學(xué)網(wǎng)

又一個(gè)執(zhí)著的人：眾人皆醉惟我獨(dú)醒