不確定度評定中的相關(guān)性問題

最近單位在寫銣原子頻率標準建標報告，關(guān)于測量重復(fù)性分量與其他分量是否有相關(guān)性引起了爭論，分量主要有銣頻標不準、頻標比對不準、測量重復(fù)性等分量。有人說既然測量重復(fù)性是拿銣頻標等儀器測出，那重復(fù)性就和銣頻標不準分量有相關(guān)性，他說的對嗎？求解

要嚴格分析很多分量之間是有相關(guān)性的，但是一般我們估計的不確定度都是略微往大了估計的，因此，按照不相關(guān)估計不會造成漏判，因此，一般的不確定度評定中，除有明顯的相關(guān)關(guān)系的外，一般都不考慮相關(guān)性。

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       經(jīng)典的誤差理論沒有相關(guān)性的說法。
       不確定度理論為了用“方和根法”，才提出相關(guān)性的問題。因為(a+b)的平方等于(a的平方)+2ab+(b的平方)，只有2ab很小，可以忽略，才有[(a+b)的平方]等于(a的平方)+(b的平方)，才能用“方和根法”。
       “方和根法”是否成立，取決于交叉項2ab是否可以忽略，而同【a量和b量之間是否相關(guān)】沒有關(guān)系。
        GUM、VIM、JJF、大量不確定度樣板評定以及各種教科書、書籍所講的關(guān)于相關(guān)性的內(nèi)容，都是脫離實際的，沒有道理。而大量的“假設(shè)不相關(guān)”，都是白說；因為交叉項能否可略，與相關(guān)性沒有關(guān)系。
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        你的具體問題，已認為誤差項是三個：銣頻標不準、重復(fù)性、比對器誤差。
        1）銣頻標不準，定量為銣頻標的準確度，就是誤差范圍，這由廠家給出，并經(jīng)上級計量部門檢定（或校準）公證。此項誤差范圍以系統(tǒng)誤差為主，當(dāng)做是系統(tǒng)誤差（符合誤差的上限性特點），記為β（數(shù)值等于銣頻標的誤差范圍，符號可正可負）。廠家給出的指標是R(銣)= |β|
        2）重復(fù)性，就是多次測量呈現(xiàn)的隨機誤差 ，記為ξ1i。ξ1i是量值可大可小，符號可正可負，取3ξi為對誤差范圍權(quán)重為1的隨機誤差元。單項測量結(jié)果為R(重復(fù))=3σ(ξ1)= σ(3ξ1)
        3）頻標比對器的誤差是隨機誤差，誤差元記為ξ2i. 廠家給出指標為R(比對)=3σ(ξ2)= σ(3ξ2)（按《時間頻率計量》一書的作法，直接用廠家的阿侖偏差指標值）。
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      你的案例是一項系統(tǒng)誤差與兩項隨機誤差合成，合成公式為：
      R(總)= √[R(銣)^2+R(重復(fù))^2+R(比對)^2]                                              （1）
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       在僅有一項系統(tǒng)誤差的情況下，（1）式成立的條件是單項系統(tǒng)誤差、其他誤差隨機（可正可負）、大量。交叉系數(shù)構(gòu)成有充分的抵消性，交叉項可略，“方和根法”成立。

       公式（1）成立的條件與“各項間相關(guān)還是不相關(guān)”沒有關(guān)系。因此，你的顧慮沒必要。有人說“相關(guān)”，沒關(guān)系；因為即使“相關(guān)”，公式（1）也成立。注意，如果有兩項大系統(tǒng)誤差，二者必須取“絕對和”，而其余操作是取“方和根”。這里僅有一項系統(tǒng)誤差，而其他為隨機誤差，不管相關(guān)不相關(guān)，都取“方和根”。
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附錄
理論根據(jù)
（一）誤差合成的理論基礎(chǔ)
       函數(shù)的改變量，等于函數(shù)對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
              f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                    （7）
              f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                                （8）
              Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                    （9）
       公式（9）是偏差關(guān)系的普遍形式。對所研究的特定函數(shù)來說，?f/?x、?f/?y是常數(shù)。
       偏差關(guān)系用于測量計量領(lǐng)域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測量的函數(shù)值， f(xo,yo) 是函數(shù)的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數(shù)值的誤差元。
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（二）隨機誤差元構(gòu)成的誤差范圍
       1 隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當(dāng)無系統(tǒng)誤差時，期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
                 ξi = Xi- Z                                                                           （1）
       2 標準誤差定義為
               σ =√(1/N)∑ξi                                                                        （2）
       3 貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
               σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                 （3）
       4 隨機誤差范圍
               R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                 =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                                 （4）
       5 由公式（4），有：
                R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                    （5）
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（三）隨機誤差與單個系統(tǒng)誤差合成的交叉因子
       兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權(quán)重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個是系統(tǒng)的（重復(fù)測量中不變），記為β（ΔY）。
       代入公式（13），有
               J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                 （16）
       系統(tǒng)誤差元是常數(shù)可以提出來，有
               J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                 （17）
       大量重復(fù)測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立。
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       詳見本欄目文章《誤差合成的“方根法”—— 測量計量理論與實務(wù)探討（1）》
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史錦順 發(fā)表于 2015-11-18 09:12
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       經(jīng)典的誤差理論沒有相關(guān)性的說法。

【經(jīng)典的誤差理論沒有相關(guān)性的說法】應(yīng)該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統(tǒng)誤差（范圍）合成”、“隨機誤差（范圍）合成”時，是“精簡”的考慮了“相關(guān)性”問題的。不然，怎么會用了不同的“合成”公式呢？

數(shù)學(xué)上，兩個序列之間的“相關(guān)性”（或稱“正交性”——“不相關(guān)性”）就是用【兩者對應(yīng)序號取值“互積和”】（對應(yīng)您現(xiàn)稱的“交叉項”）與【各自方和根(開方)的乘積】之比（謂之“相關(guān)系數(shù)”）來表達的。

對于一個“誤差分量”對應(yīng)的“誤差序列”，理論上可以求它的“均值”和“標準偏差”（“標準偏差”大致就是“均方差根”），也可以求它的“均方根”，它們的關(guān)系大致是

                          “均方根”的平方=“均值”的平方+“均方差根”的平方

表達一個“誤差分量”的“整體大小”（即“可能的最大值”），顯然應(yīng)該用“包含‘均值’影響的‘均方根’”，而不能僅用“標準偏差（‘均方差根’）”，除非“均值”等于零！...... 統(tǒng)計學(xué)中的“皮爾蓀”相關(guān)系數(shù)是從“只關(guān)心散布（‘標準偏差’表述）的‘相關(guān)性’”的角度定義的，如果從關(guān)心“整體大小”（即“可能的最大值”）的角度考慮‘均方根’（或‘均方值’），自然會得到我們曾經(jīng)提到的的那個“全值相關(guān)系數(shù)”。

問題的癥結(jié)是一部分人認為任何“誤差分量”的“均值”都是應(yīng)該“可知的”，并已得到適當(dāng)?shù)摹靶拚保響?yīng)將它排除在“測量結(jié)果報告”之外；而另一部分人（包括我，還有您？）則認為【很多“誤差分量”的那個理想中的“均值”其實都“不能確知”，只能“合理猜測”——大致對應(yīng)所謂“（未定）系統(tǒng)誤差”，應(yīng)該在“測量結(jié)果報告”中適當(dāng)反應(yīng)】。

因此，建議：還是采用“相關(guān)系數(shù)”，不宜另命名“交叉因子”。

njlyx 發(fā)表于 2015-11-18 12:02
【經(jīng)典的誤差理論沒有相關(guān)性的說法】應(yīng)該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統(tǒng)誤 ...

     這兩方面不是按人分類的，而是都正確的兩種做法，可修正也可”合理“估計（個別字眼的問題我就不說了，觀點差不多就行）。 問題的癥結(jié)應(yīng)該是在”合理“估計上，方和根法是沒有爭議的，爭議就在相關(guān)系數(shù)不好確定上，史先生為了保險，一率當(dāng)強相關(guān)處理，就成為絕和法。

njlyx 發(fā)表于 2015-11-18 12:02
【經(jīng)典的誤差理論沒有相關(guān)性的說法】應(yīng)該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統(tǒng)誤 ...

討論技術(shù)問題還是直接了當(dāng)更好。相關(guān)性問題本來就是傳統(tǒng)隨機誤差理論中的經(jīng)典內(nèi)容，協(xié)方差和方差概念本來就是同時誕生的，這在測繪、儀器制造等領(lǐng)域是經(jīng)常涉及的，至多只是計量檢測領(lǐng)域較少涉及。相關(guān)性問題本來就不是不確定度的發(fā)明創(chuàng)造。

這里的重復(fù)性指的是被測儀器的重復(fù)性指標，主要是被測儀器自身性能造成的，雖然標準器理論上也會對重復(fù)性結(jié)果造成一定影響，但由于標準在選用時本身各項指標（包括重復(fù)性）遠遠好于被校儀器（這是校準的前提），所以標準器對被測儀器重復(fù)性指標造成的影響很小，可以忽略不計，也就不用考慮它們的相關(guān)性問題了。

　　葉老師說“相關(guān)性問題本來就是傳統(tǒng)隨機誤差理論中的經(jīng)典內(nèi)容，協(xié)方差和方差概念本來就是同時誕生的，相關(guān)性問題本來就不是不確定度的發(fā)明創(chuàng)造”。這是客觀事實，也很有道理。但我們?nèi)匀粦?yīng)該區(qū)分兩個輸入量的測量誤差相關(guān)性和由這兩個誤差分別給測得值引入的測量不確定度分量的相關(guān)性，誤差是“因”，不確定度是“果”。沒有因就不會有果的產(chǎn)生，但因與果不是一回事，誤差與不確定度也不是一回事，因和因的相關(guān)性與果和果的相關(guān)性也不是一回事。合成的時候因與因可以合成，果與果合成，但因與果不能合成。

　　銣原子頻率標準建標報告，不確定度分量要看你的方法的測量模型，測量模型有幾個輸入量就應(yīng)該有幾個不確定度分量，不能多也不能少。
　　測量重復(fù)性引入的不確定度分量一定要看是哪個輸入量引入的。一般來說計量標準特性引入的不確定度分量不需要A類評定，因為其所有有用信息我們都知道，用B類評定足矣。重復(fù)性引入的不確定度分量評定，主要針對無法知曉有用信息的那個輸入量，在檢定/校準過程中往往是被檢儀器的影響示值誤差測量結(jié)果的那個參數(shù)（即那個輸入量）。
　　“有人說既然測量重復(fù)性是拿銣頻標等儀器測出，那重復(fù)性就和銣頻標不準分量有相關(guān)性”，他說的對也不對。說它對，是因為重復(fù)性實驗必須用計量標準對被檢儀器測量，被檢儀器的讀數(shù)必然同時涉及計量標準和被檢儀器，兩者也就必然相關(guān)。說它不對，是因為計量標準的計量特性遠遠優(yōu)于被檢儀器的計量特性，計量標準的重復(fù)性影響遠遠小于被檢儀器自身重復(fù)性（包括分辨力）的影響，在評估（或稱估計）方法中很小的分量可以忽略不計，這就意味著兩者屬于弱相關(guān)，也就可視為不相關(guān)。因此重復(fù)性引入的不確定度分量不應(yīng)該算在計量標準身上，而應(yīng)計入被檢儀器讀數(shù)這個輸入量引入的不確定度分量。

yeses 發(fā)表于 2015-11-18 13:29
討論技術(shù)問題還是直接了當(dāng)更好。相關(guān)性問題本來就是傳統(tǒng)隨機誤差理論中的經(jīng)典內(nèi)容，協(xié)方差和方差概念本來 ...

引起“問題”的是所謂“（未定）系統(tǒng)誤差分量”的“相關(guān)性”處理，  基于“有限誤差樣本序列”的“協(xié)方差”、“方差”的“統(tǒng)計”計算所得的“（皮爾蓀）相關(guān)系數(shù)”不能有效反應(yīng)它們【指“（未定）系統(tǒng)誤差分量”】與其它“分量”的“相關(guān)性”。

“（未定）系統(tǒng)誤差分量”的本質(zhì)特征應(yīng)該是其“自相關(guān)性”——“自相關(guān)系數(shù)”在較大的序號間隔范圍內(nèi)接近于1；  不同“（未定）系統(tǒng)誤差分量”之間的“互相關(guān)性”還是需要根據(jù)實際情況斟酌，不可能由“（皮爾蓀）相關(guān)系數(shù)”公式得到有實用價值的“相關(guān)系數(shù)”【所需“誤差樣本序列”的“完全性”不能得到實際滿足】，也不能認定這“相關(guān)系數(shù)”就是+1/-1【因為“（未定）系統(tǒng)誤差分量”并不是恒定取某個“常數(shù)”，只是在一個有限的實用范圍內(nèi)近似為“常數(shù)”，離開這個“有限的實用范圍”，它就會“隨機的”變?yōu)榱硪粋€“常數(shù)”了。】。

njlyx 發(fā)表于 2015-11-18 12:02
【經(jīng)典的誤差理論沒有相關(guān)性的說法】應(yīng)該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統(tǒng)誤 ...

“數(shù)學(xué)上，兩個序列之間的“相關(guān)性”（或稱“正交性”——“不相關(guān)性”）就是用【兩者對應(yīng)序號取值“互積和”】（對應(yīng)您現(xiàn)稱的“交叉項”）與【各自方和根(開方)的乘積】之比（謂之“相關(guān)系數(shù)”）來表達的。”


      又看到了，最后一次提醒，如果還是堅持的話，我也沒辦法了。您說的互積和，是“相關(guān)函數(shù)”的一種歸一化表示方法，但實際使用范圍是非常窄的。比如兩組溫度序列，如果用你的公式，用攝氏溫度單位和用華氏溫度單位得到的相關(guān)系數(shù)是不一樣的。實際上，您的相關(guān)系數(shù)也在一定程序上表示了兩組隨機變量的相關(guān)性，但根據(jù)公式特性，僅適用于“定性”比較兩組或以上數(shù)值絕對值相近且變化量遠小于與零點的距離的變量的相關(guān)性大小。
       相關(guān)函數(shù)的歸一化表示方法（即相關(guān)系數(shù)）有不少，但有些適用范圍窄且物理意義不明確，現(xiàn)在比較認可還是協(xié)方差法，即下圖中第二種。

thearchyhigh 發(fā)表于 2015-11-19 08:57
“數(shù)學(xué)上，兩個序列之間的“相關(guān)性”（或稱“正交性”——“不相關(guān)性”）就是用【兩者對應(yīng)序號取值“互積 ...

多謝你的提醒！

你說的東西大致了解相關(guān)知識的人是應(yīng)該知道的。

如你第一個圖給出的“相關(guān)系數(shù)”r，其應(yīng)用范圍當(dāng)然是有“若干”限制的：首先是兩個“序列”要有等價的物理含義【具體或由“量綱”表明】，如果兩者的“物理含義”不同，那將它們做“求和”等“運算”都是沒有“物理意義”的，談它們的“相關(guān)性”也就沒有“物理意義”，你說的“攝氏溫度序列”與“華氏溫度序列”違背了此條“限制”； 其次，參與計算“相關(guān)系數(shù)”r的“序列”要有“完全的代表性”【起碼滿足：由“序列”計算出的“平均值”與“序列”所屬“總體”的“均值”應(yīng)高度一致；由“序列”計算出的“方差（或標準差）估計值”與“序列”所屬“總體”的“方差（或標準差）值”充分接近；....】;.....。

與此相應(yīng)，皮爾蓀“相關(guān)系數(shù)”的應(yīng)用范圍也會有“類似”的限制：只是由于它只關(guān)心“序列”相對于“均值”“變化量”之間的“關(guān)系”，在某些方面的“限制”可能會相對松一點，譬如，對參與計算“相關(guān)系數(shù)”之“序列”的“完全代表性”就不必要求【由“序列”計算出的“平均值”與“序列”所屬“總體”的“均值”應(yīng)高度一致】。相應(yīng)的，其應(yīng)用范圍是相對廣泛，這沒有異議。但它適應(yīng)【你說的“攝氏溫度序列”與“華氏溫度序列”的“相關(guān)性”評價】則只是特例巧合，因為兩種溫標之間是相差一個常數(shù)后的(線性)比例關(guān)系，如果還有某個X溫標與攝氏溫標就是一種(線性)比例關(guān)系，那么“攝氏溫度序列”與“X溫度序列”之間形式上也能由第一個圖給出的“相關(guān)系數(shù)”評價“相關(guān)性”，只是，一般情況下，如此“相關(guān)性”評價是沒有“物理意義”的。

你給的第二個式子給出的是“序列相對于自身均值變化量的‘自相關(guān)系數(shù)’”，與【皮爾蓀“相關(guān)系數(shù)”】是含義對應(yīng)的東西。

“互相關(guān)函數(shù)”及“歸一化的互相關(guān)函數(shù)”的“物理意義”很清晰，它表達的是：一個序列與另一個序列移序后呈（線性）比例關(guān)系的程度！所謂“函數(shù)”，是指它會隨“移序”量的多少而變化，“移序”量為零的“歸一化的互相關(guān)函數(shù)”就是你圖1給出的那個“相關(guān)系數(shù)”r，它表達的是：一個序列與另一個序列呈（線性）比例關(guān)系的程度！

類似的，“自相關(guān)函數(shù)”及“歸一化的自相關(guān)函數(shù)”的“物理意義”是：一個序列與其本身移序所得序列呈（線性）比例關(guān)系的程度！所謂“函數(shù)”，也是指它會隨“移序”量的多少而變化，“移序”量為零的“歸一化的自相關(guān)函數(shù)”就等于1：一個序列與自身當(dāng)然呈（線性）比例關(guān)系！

njlyx 發(fā)表于 2015-11-19 10:00
多謝你的提醒！

你說的東西大致了解相關(guān)知識的人是應(yīng)該知道的。

       用華氏或攝氏，物理意義或含義就不一樣了？  
       再說你知道你那公式要物理意義一樣才適用，而 不確定度評定經(jīng)常要用于不同物理量之間的，    測速假設(shè)靠測距離和時間來定，評定時需知道距離和時間的相關(guān)性，怎么辦？  
         

thearchyhigh 發(fā)表于 2015-11-19 13:49
用華氏或攝氏，物理意義或含義就不一樣了？  
       再說你知道你那公式要物理意義一樣才適用， ...

上貼表述有些不周全，所謂“要有等價的物理含義”應(yīng)該是由“量的合成式”做出具體要求：若是兩個量直接“求和”，就必須“量綱一致”； 若量前有了變換系數(shù)，再要求“量綱一致”就不妥了。如果并沒有說明“攝氏溫度”量與“華氏溫度”量要按什么方式“合成”，那上貼所述此點“限制”是不確切的，特此更正！

兩種“相關(guān)系數(shù)”對兩序列“物理意義”的要求是沒有本質(zhì)區(qū)別的，只是一個關(guān)注“總量”之間是否呈（線性）比例關(guān)系？ 另一個關(guān)注“增量（相對于‘均值’的增量）”之間是否呈（線性）比例關(guān)系？   應(yīng)用中具體要關(guān)注哪個，就用哪個“相關(guān)系數(shù)”——簡單說：如果關(guān)心“合成量”的“均方差”就應(yīng)該用“皮爾蓀相關(guān)系數(shù)”；如果關(guān)心“合成量”的“均方值”就應(yīng)該用另一個“相關(guān)系數(shù)”。