交叉項中系統誤差強相關——關于相關性的討論（2）

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                           交叉項中系統誤差強相關
                                                         —— 關于相關性的討論（2）
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                                                                                                                              史錦順
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（一）處理誤差合成的兩種思路
       函數的變化量，等于函數對各個自變量偏微分的和。數學上是泰勒展開的一級近似。
                 f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                          （1）
                 f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy           
                 Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                       （2）
       公式（2）是變量關系的普遍形式。對所研究的特定函數來說，?f/?x、?f/?y是常數。
       變量關系用于測量計量領域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是求得的函數值， f(xo,yo) 是函數的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函數值的誤差元。
       誤差元定義為測得值減真值，可正可負；當有隨機誤差存在時，誤差元可大可小。
       誤差量的特點是絕對性與上限性。第一，誤差量按絕對值論大小；第二取誤差絕對值的最大值為誤差的表征量。這個表征量就是誤差范圍（又稱極限誤差、最大允許誤差、準確度、準確度等級）。誤差范圍定義為誤差元的絕對值的一定概率（99%以上）意義上的最大可能值。誤差范圍是測量計量水平以及儀器性能水平的表征。
       如是，對誤差元要進行兩步操作。第一步取絕對值；第二步取絕對值的最大值。經典誤差理論，例如1964年出版的《誤差理論與實驗數據處理》（馮師顏）與1980年出版的《數學手冊》，處理方法就是取絕對值的最大值。這體現了誤差量的兩個特點。這是“絕對和法”，就是取絕對值之和。
       用“絕對和法”轉化（2）式的誤差元為誤差范圍R，有：
                 |Δf |max= |(?f/?x) Δx + (?f/?y)Δy|max               
                             =|?f/?x||Δx|max +|?f/?y||Δy|max
                 R(f) = |?f/?x|R(x) +|?f/?y|R(y)                                                  （3）
       公式（3）用于和、差、積、商、乘方、開方六大基本函數關系，就有極為簡明的六個定理（參見《史氏測量計量學說》第4章）：
       定理一：二量和的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和。
       定理二：二量差的誤差范圍，等于二量的誤差范圍之和（不是差）。
       定理三：二量之積的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和。
       定理四：二量相除，商的相對誤差范圍，等于二量的相對誤差范圍之和（不是差）。
       定理五：Y等于A的n次方，則Y的誤差范圍等于A的誤差范圍的n倍。
       定理六：Y等于B的n次方根，則Y的誤差范圍等于B的誤差范圍的1/n倍。
       以上六個定理，即常用的“絕對和法”誤差合成公式，對測量計量工作者是十分重要的，也極其簡明，好記、好用、保險。
       “絕對和法”著眼于誤差的上限性，不存在不確定度論的各項難關：1 不考慮分布規律；2 不計較相關性；3 正視系統誤差的客觀存在，沒必要把系統誤差隨機化；4 直接用分項誤差范圍計算，沒必要進行范圍與方差間的折騰；5 沒有自由度一說。
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       誤差處理的特例，是對隨機誤差的處理。多次重復測量，單項隨機誤差內部取“均方根”。貝塞爾公式是典型代表。
       各項隨機誤差之間合成，用“方和根法”。方和根法的基本依據是各量之和的平方，等于各量之平方的和，就是多項式平方的展開式的交叉項的和為零（或可以忽略）。
       用貝塞爾公式處理測量系列，得到σ，這相當于前述第一項操作：取絕對值；第二項操作是乘3得隨機誤差范圍，這就體現了“上限性”（概率大于99%）的特點。
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       1980年啟動而于1993年正式推行的不確定度理論（包括1980年后的一些誤差理論書籍），合成方法主張用“方和根法”。此法否定了誤差量取最大值的操作；但對取絕對值，還是依舊的。對隨機誤差，處理方法也依舊。
       新的作法是把對隨機誤差的處理方法，推廣到一般情況。就是不分誤差是隨機的還是系統的，一律取“方和根”。GUM為此而淡化系統誤差與隨機誤差的分類與劃分。但是，無視客觀規律是要受到懲罰的，本文所論的合成中的相關系數的是非，就來源于對誤差性質的混淆。

       同經典誤差理論不同，不確定度論不是直接取誤差元的絕對值，而是平方再開方。初等數學規定，平方根取絕對值。這樣做，第一達到取絕對值的目的；第二，對隨機變量，有“二量和的平方等于二量平方的和”這個特性，因而對處理隨機變量的統計問題，這是十分方便的，也是必要的。這樣做是正確的（經典誤差理論對隨機誤差本來就這樣做）。
       對于系統誤差，二量之和的平方，等于每個量之平方的和加上交叉項之和。測量儀器通常是以系統誤差為主的；有系統誤差的情況下，交叉項等于什么，是否為零或能否忽略，這是“方和根法”成立與否的關鍵。
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（二）“方和根法”誤差合成中，系統誤差的相關系數絕對值是1
       系統誤差合成的交叉項（以下簡稱交叉項）是常量，不存在抵消作用，是不能忽略的。系統誤差在交叉項中的“相關系數”，是+1或者是-1。就是說，參加合成的分項的系統誤差，不管來源如何，只要是常量（系統誤差就是“誤差值為常量”的誤差），在交叉項中，其相關系數的絕對值是1，因而交叉項不能為零，也不能忽略。正常的作法是把合成公式轉換為二量的絕對值之和（相關系數是+1時），或絕對值之差（相關系數是-1時）。鑒于通常對系統誤差的了解是只知其范圍，又鑒于合成后誤差的上限性，要回避取差，該取絕對值之和。這就回到了經典誤差理論的“絕對和”法。
       本欄目的帖子中已有崔偉群先生（中國計量科學研究院,一研究中心主任，2011  http://www.dy313.com/forum.php?mod=viewthread&tid=182209&extra=page%3D1 2#帖）、njlyx先生(李永新博士，南京理工大學教授，博士生導師。史注：引自《南京理工大學研究生導師表》，兵工學會專業委員  http://www.dy313.com/forum.php?mod=viewthread&tid=181917&extra=page%3D1&page=5，107#帖)，二位學者都已嚴格證明，“方和根法”誤差合成中，交叉項中的系統誤差的相關系數是+1或-1，我的學術探討僅僅是證明二位學者給出的結果是正確的。鑒于崔主任的推導數學形式較復雜，而李博士的證明又過于簡約，我再用我的方式科普如下。
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（三）方和根法合成中，系統誤差相關系數公式的推導
       設函數的誤差由兩項誤差Δx、Δy引起。由此，函數的兩項誤差元為：
                Δf(x) = (?f/?x) Δx
                Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分項誤差作用的靈敏度系數與該項誤差歸并，記為（注意大小寫）：
                Δf(X) = ΔX
                Δf(Y) = ΔY
       函數的誤差元式（2）變為：
                Δf=ΔX +ΔY                                                                              （4）
       對（4）式兩邊平方并求和、平均：
                (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2  
                                =(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2                 （5）
       （5）式右邊的第一項為σ(X)^2，第三項為σ(Y)^2; （5）式的第二項是交叉項，是我們研究的重點對象。記交叉項為2J。有
                σ(f)^2 = σ(X)^2+2J+σ(Y)^2                                                      （6）
       變換交叉項之J
                 J = (1/N)∑ΔXΔY
                   ={(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]} [σ(X) σ(Y)]
                   = Rc [σ(X) σ(Y)]
       （6）成為
                  σ(f)^2 = σ(X)^2+2 Rc [σ(X) σ(Y)] + σ(Y)^2                               （7）
       （7）中的Rc為：
                  Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]                                                   （8）
       按已有的慣例，特別是參照隨機誤差情況下的稱謂，稱Rc為相關系數。
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       （1）設ΔX、ΔY是殘差，ΔX=X-X(平)，ΔY=Y-Y(平)， 公式（8）就成為基于殘差的相關系數公式
                  Rb=(1/N)∑[X-X(平)][(Y-Y(平)) / {σ[X- X(平)]σ[Y- Y(平)]}                （9）
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       （2）設ΔX、ΔY為系統誤差。系統誤差在系列測量時不變，是個常數。有
                  ΔX=Kx                                                                                      （10）
                  ΔY=Ky                                                                                       （11）
       且有
                  σ(X)= |Kx|                                                                                 （12）
                  σ(Y)= |Ky|                                                                                 （13）
       將（10）到（13）代入（8），則得系統誤差的相關系數為：
                  Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]
                     =(1/N)NKxKy / [|Kx| |Ky|]
                     =±1
       即有
                  |Rc|=1                                                                                      （14）
       當Kx、Ky同號時，系統誤差的相關系數為+1；當Kx、Ky異號時，系統誤差的相關系數為-1.
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       當系統誤差的相關系數為+1時，（7）式為：
                 σ(f)^2 = σ(X)^2+2 σ(X) σ(Y) + σ(Y)^2                                        （15）
                           = [σ(X) + σ(Y)]^2
       既有：
                 σ(f) = σ(X) + σ(Y)                                                                       （16）
       也就是      
                  | Δf | =|ΔX|+|ΔY|                                                                       （17）
        （17）式就是絕對值合成公式。
       當系統誤差的相關系數為-1時，（7）式變為二量差的公式。因為通常只是知道系統誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點，此解不能用。反正它在（17）的區間中，即“絕對和法”包容它，不必另設爐灶。
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       綜上所述，系統誤差在“方和根法”合成時，交叉項中的相關系數是+1（相關系數為-1的解不能用）；這樣，“方和根法”，就回歸為“絕對和法”。
       測量儀器的誤差，通常以系統誤差為主。在有系統誤差存在，特別是以系統誤差為主的通常情況下，交叉項中的誤差項，不是弱相關而是強相關。這樣，不確定度評定的通常的假設條件“不相關”，通常是不成立的。就是說，不確定度評定的“方和根法”是沒道理的。不確定度理論為推行“方和根法”，導致產生五大難關：分布規律、不相關假設、變系統為隨機、范圍到方差的往返折騰、求自由度。這些，都是自找麻煩，并無必要；不僅不必要，由于忽略交叉項，不合理地縮小誤差范圍，違背誤差量的上限性特點，成為工程的隱患。
       “系統誤差強相關”，一條曝光，就使五大難關灰飛煙滅（沒必要費那個勁兒）。此乃計量人的幸事，省卻那么多麻煩，好！清除重大工程的隱患，應該！必須的！
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       致謝
       njlys（李永新博士）與崔偉群主任（按我知道的時間順序），指出并證明在“方和根法”合成中，交叉項中的系統誤差的相關系數的絕對值為1，這對本人的學術探討，十分給力。本人深受啟發，特致謝意。
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