差分是正路——不確定度評定微分的誤導

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                            差分是正路   
                                             ——不確定度評定微分的誤導
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                                                                                                                      史錦順
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（一）差分與微分            
    兩個量相減，結果稱差。
    若二量大小相近，此二量的差稱差分。差分遠遠小于量值本身，二階量可以忽略。
    差分無限小，就是微分。函數的微分等于函數的微商與自變量微分的乘積。
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    微分在工程中被廣泛應用。測量計量工作中的誤差分析，主要是微分。微分用慣了，人們也就習以為常地隨時用微分。
    微分的本來含義，是自變量的變化量，導致的函數的變化量，參考值是變化前的值。而測量計量的分析，要的是測得值與實際值的差值。計量時用標準的標稱值代換實際值（真值），標準的標稱值是參考值。差分可清晰反映這一點；而微分可能模糊參考點。
    筆者在幾項標準與測量儀器的研制分析中，主要用差分。物理意義直觀。
    現行的不確定度評定，用的都是微分。結果是多處出錯。不是微分學本身有錯，而是不確定度評定的微分，不分變量與常量，不明確參考值，見量就取微分，常常弄錯表征量的歸屬，所給出的結論，幾乎全錯。
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（二）差分法對計量誤差的分析   
    計量的誤差是什么呢？
    測量是用測量儀器測量被測量，以求得被測量的值。而檢定是用被檢儀器來測量已知量值的標準，以求得測量儀器的誤差，看是否合格。檢定是測量的逆操作。測量儀器的誤差，是檢定的認識對象。
    檢定的目的是求得儀器的誤差，就是儀器的示值與被測量（標準）真值之差，而得到的是儀器示值與標準標稱值之差；計量的誤差分析，就是求得這二者的差別。這里的語言、記法、算法，都是差分。
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    設測得值為M，標準的標稱值為B。標準的真值為Z。
    設儀器的誤差元（以真值為參考）為r(儀)，檢定得到的儀器測得值與標準的標稱值之差值為r(示)，標準的誤差元為r(標)。
    1 檢定得到儀器的視在誤差元為：
                r(示) = M―B
    2 測量儀器的誤差元為：
                r(儀) = M―Z
    3 標準的誤差元（根據《JJF1180-2007》）為
                r(標) = Z―B
    4 檢定的計量誤差元為：
                r(計) = r(示) ― r(儀)
    綜上，有
                r(計) = r(示)―r(儀)
                     = M―B ―（M―Z）
                     = Z―B
                     = r(標)
    誤差范圍是誤差元的絕對值的最大可能值。誤差范圍關系為：
                 │r(計) │max = │r(標) │max
即有
                 R(計) = R(標)                                                                               （1）
    R(標)是所用計量標準的誤差范圍。（1）式是計量誤差的基本關系式。計量誤差由標準的誤差范圍決定。計量誤差與被檢儀器的誤差因素無關。
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    標準選用：設被檢測量儀器的誤差范圍指標是R(儀，標稱)，若：
                 R(標) ≤ R(儀，標稱)/4                                                                   （2）
則檢定標準符合要求（取1/4是 當前國際慣例，略優于我國計量規范《JJF1094-2002》的1/3）。
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    合格性判別：只要
               │r(示)│max ≤ R(儀，標稱)―R(標)                                                      （3）
則被檢儀器合格。
    與（3）式等效的表達式又記為：
               │Δ│max≤MEPV―R(標)                                                                     （4）
    Δ是被檢儀器的視在誤差元r(示)；MEPV是被檢儀器最大允許誤差，即被檢儀器誤差范圍指標值R(儀，標稱)；R(標)是所用計量標準的誤差范圍。
    以上這些，不是老史的發現，而是不確定度論誕生前，計量界的基本認識。這是計量實務，這是科學。是幾百年來計量實踐所證明了的差分分析。這是計量誤差分析的正路。
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（三）不確定的評定模型微分的誤導           
    不確定度評定的示值誤差的模型為
                EX= X―B                                                                                       （5）
    不確定度評定的基本方法是微分。
    GUM評定的方法的基本點是基于微分法的對測得值函數的泰勒展開。
    歐洲的樣板評定，直接寫出偏差公式，這是測得值函數泰勒展開的簡化形式。
    中國的樣板評定，與國際上的通用方式是一致的。
    本文將各種形式的評定歸并于如下的形式，統稱不確定度計量評定，簡稱現行計量評定。
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    不確定度計量評定的基本公式是對示值誤差模型（5）的微分。函數的泰勒展開，參照物就是量值自身。泰勒展開的一般形式為
                 f (X,Y,Z) = f(Xo,Yo,Zo) +(?f/?X)(X-Xo) +(?f/?Y)(Y-Yo) +(?f/?Z)(Z-Zo)
                 f (X,Y,Z) - f(Xo,Yo,Zo) = (?f/?X) ΔX +(?f/?Y) ΔY +(?f/?Z) ΔZ   
    一般形式用于模型（5），有：
                EX(0)+ ΔEX = X(0) + ΔX(分辨)+ ΔX(重復)+ ΔX(其他)―[B(0) +ΔB(標)]
                ΔEX =ΔX(分辨)+ ΔX(重復)+ ΔX(其他) ―ΔB(標)                                     （6）
    X是示值，B是標準量，EX是差值，加（0）表示無誤差時的量。
    ΔEX 是要評定的不確定度（元），ΔX(分辨)表示被檢儀器分辨力因素，ΔX(重復)表示“用測量儀器測量計量標準”時讀數的重復性，ΔX(其他)是被檢儀器其他因素的影響；ΔB(標)是標準的誤差。
    （6）式是不確定度計量評定的基本公式。由于用微分，著眼點被誤導到“量的變化”（與真值無關）。但計量誤差（檢定測量儀器誤差的誤差），不是量的變化，而是求得的“視在誤差”與測量儀器的“定義誤差”（離不開真值）的差別。因此公式（4）是正確的；而不確定度評定所本的公式（6）是錯誤的。公式（6）把被檢儀器的性能如分辨力、穩定性等賴在檢定裝置的檢定能力上，是錯誤的。公式錯了，評定結果必然錯誤。
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     被測儀器的誤差因素，包括ΔX(分辨)，ΔX(重復)，ΔX(其他)都必然體現在測量儀器的示值X與標準的標稱值B的差值之中。不該對測得值X作拆分。
     拆分的第一作用是重計（與總指標重負）；第二作用是錯計：ΔX(分辨)、ΔX(重復)、ΔX(其他)是計量的對象，把它們算在檢定能力上，是錯計。
    公式（6）式混淆了對象與手段的關系。
    公式（6），不是物理意義確切的計量誤差的構成式。用（6）式考究計量問題，是基本公式錯誤。
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    計量不確定度評定的錯誤，與微分的誤導有關。如果是差分，明確由于誰代換誰而產生誤差，就會知道在計量誤差的分析中，測得值是客觀存在，是常值，是不該對它微分的。
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