對兩個σ的反思

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                                              對兩個σ的反思                        
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                                                                                                                                 史錦順
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（一）兩個σ          
       一回測量，測量N次。N個示值M(i)的平均值是測得值，記為M(平)。將N個示值M(i)代入貝塞爾公式，計算得標準偏差σ。標準偏差有單值的σ，記為σ(單)；另一個是平均值的σ，記為σ(平)。σ(平)等于σ(單)除以根號N。
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       σ(單)的特點：隨著測量次數N的增大，σ(單)趨近一個常數。這表明，當N趨近于無窮大時，σ(單)的極限是個常數。此常數是σ(單)的期望值。一個統計變量的分散性，對應于特定的σ(單) ，因此σ(單)是統計變量的表征量。
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       σ(平)的特點：σ(平)是測量次數的函數，隨著測量次數的增大，σ(平)以根號N分之一的速率減小；當N趨于無限大時，σ(平)的期限值是零。σ(平)是個與測量次數N有關的值，且其期望值為零，因此，σ(平)不能當統計變量分散性的表征量。
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       σ(單)與σ(平)的區分，體現在實際操作上，就是“是否除以根號N”。
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（二）經典測量理論的說法              
       經典的測量，被測量是常量，示值的隨機變化，是測量儀器的隨機誤差產生的。這是手段的問題。手段是可以而且應當改進的，因此取σ(平)，即將σ(單)除以根號N。
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（三）統計測量           
       統計測量，測量儀器的誤差可略，測得值個個是被測量的真值。測得值的變化是被測量的實際變化。這個變化，必須如實反映，不得縮小。要用σ(單)來表征被測量的變化，不能用σ(平)。也就是說，統計測量的σ，不能除以根號N。
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（四）不確定度理論的規定            
       A類不確定度評定，測量N次，用N次測量的平均值表征被測量，規定用σ(平)來表征被測量的分散性，即將σ除以根號N，這對統計測量來說是錯誤的，對基礎測量來說是多余的。
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（五）基礎測量的實際表達           
       基礎測量的模式：被測量是常量，測量儀器有誤差。測量儀器的誤差范圍指標為R(儀)，R(儀)由系統誤差范圍R(儀系)與隨機誤差范圍R(儀隨)組成。
       測量儀器的性能指標值由生產廠給出，由計量部門公證（有檢定證書）。
       人們在進行測量前，根據測量任務的要求，選用夠格的測量儀器。因此，測量者，必然知道所用測量儀器的誤差范圍的指標值。
       測量者用測量儀器的誤差范圍的指標值R(儀)，當做測得值的誤差范圍，是冗余代換，簡單、合理、保險。測量者的測量結果為：
                     L = M(平) ± R(儀)                                                                        （1）
       注意，R(儀)中包含儀器示值誤差的隨機誤差范圍R(儀隨)：
                    R(儀隨) = 3σ(單)                                                                           （2）
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       通常誤差理論中講的，基礎測量（常量與慢變化量的測量）的數據處理，是求
                    σ(平) = σ(單)/√N                                                                           （3）
       必有
                    3σ(平) ＜＜ 3σ(單)
       因此當已用R(儀)表達測量的誤差范圍時，已經充分包含了測量的隨機誤差。因此，測量結果的表達中，不必加入新算的σ(平)這一項。
       結論：基礎測量，不必計入σ(平)。
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       學了誤差理論，知道測量多次，取平均值當測得值，測得值的隨機誤差比取單值的隨機誤差小，就行了。因為要用儀器的誤差范圍當測得值的誤差范圍，已計入隨機誤差因素σ(單)，就不必計入σ(平)了。計入就重計了。
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（六）σ(平)無用說         
       在統計測量（快變量測量）中，必須用σ(單)來表征，因為σ(單)是隨機變量的表征量，而σ(平)不是隨機變量的表征量。不能用σ(平)。
       在基礎測量中，測量儀器的誤差范圍，已包含σ(單)，它遠大于σ(平)，不該再另計入σ(平)。因此，基礎測量中，也用不著σ(平)。
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       結論：在基礎測量、統計測量中，都不用σ(平)。因此σ(平)無用。
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       老史的這個說法，一定會備受責難。來吧，敬請大家批評！
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您對“基礎測量”的描述和處理我認為是正確的。可是對于“統計測量”的描述和處理我不贊成。
您說：“ 統計測量，測量儀器的誤差可略，測得值個個是被測量的真值。”既然測得值個個是被測量的真值，也就是認為個個測得值的不確定度為零，如果用平均值表示測量結果（應該是這樣吧），則平均值的不確定度也必然為零，既然其不確定度為零，還有哪來的標準偏差。用σ(單)來表征被測量的變化可以這么規定，也可以用極差來表征被測量的變化，用σ(單)或其什么倍數來表示平均值的不確定度就不對了。
我剛參加了“全國電磁計量技術委員會直流和安規儀器工作組2014年年會”，期間與有關專家探討了計量是否為您定義的統計測量，計量真的不是統計測量，望史老三思。

　　（一）測量N次，N個測得值M(i)的平均值是測量結果，記為M(平)。用貝塞爾公式可計算得標準偏差σ，記為σ(單)，平均值的標準差σ(平)＝σ(單)/√N，這都沒有錯。σ(單)是每個測量結果M(i)的標準差，將隨測量次數N的增大趨近一個常數。σ(平)是測量結果M(平)的標準差，隨著測量次數N的增大趨近于0。這說明每個M(i)的標準差都是相同的，都是常數 σ(單)，而M(平)的標準差 σ(平)隨著測量次數N的增加而減小，N→∞時， σ(平)→0。標準差反映了測量結果的隨機誤差（含未知系統誤差）的大小，這也說明了以多次測量的平均值為測量結果比單次測量結果的隨機誤差小，修正了已知系統誤差的情況下，平均值比單次測量結果更準確，更貼近被測量真值。
　　（二）經典的測量，被測量是常量，測量儀器的隨機誤差產生了測量結果的隨機變化，產生了測量結果的隨機誤差，當然也還應該包括人員估讀、環境條件的隨機變化對測量結果隨機誤差的影響。這的確是手段的問題，手段就是測量方法。手段是可以而且應當改進的，但改變測量方法就意味著不是原來測量方法的標準差，取σ(平)＝σ(單)/√N表征的測量結果M(平)的隨機誤差僅適用于指定的測量方法，改變測量方法，σ(單)和σ(平)都將改變。
　　（三）統計測量，選擇的測量儀器的誤差相對于被測量的變動量應小到可忽略，這樣得到的測得值的變化才能視為被測量的實際變化。這個變化，必須如實反映，不得縮小。統計測量要的測量結果是被測對象變化量而不是平均值，因此要用σ(單)來表征被測量的變化量，不能用σ(平)，也就是說，統計測量的σ，不能除以根號N。但，若統計測量的測量結果需要的是算術平均值而不是被測對象變化量，則平均值的分散性和標準差就仍然是σ(平)。所以要不要將σ(單)除以√N，關鍵仍然是看測量結果的性質，而不是看常量測量還是統計測量。
　　（四）不確定度的A類評定方法，當測量N次，用N次測量的平均值表征被測量測量結果時，規定用σ(平)來表征被測量測量結果的不確定度分量之一，σ(平)＝σ(單)/√N是完全正確的。σ(平)＝σ(單)/√N無論對統計測量還是常量測量來說都是正確的，當N=1時，σ(平)＝σ(單)/√1＝σ(單)，這就是單次測量結果的不確定度分量之一，只不過這個σ(單)不是通過N次測量得到的，而是早先通過n次重復性實驗得到的。
　　（五） 學了誤差理論，知道測量多次，取平均值當測得值，測得值的隨機誤差比取單值的隨機誤差小，但還應該知道取平均值作為測量結果時，隨機誤差與測量次數之間的關系，這個關系就是平均值為測量結果時的隨機誤差表達式σ(平)＝σ(單)/√N。用儀器的誤差范圍（允差）當測得值的誤差范圍是近似的，是單次測量結果的誤差，因此測量結果的隨機誤差用σ(單)，但重復多次測量取平均值作為測量結果，既然史老師也承認“測得值的隨機誤差比取單值的隨機誤差小”，到底小到什么程度也還是應該知道，測量次數越多就會越小，否則做一兩次測量就可以的事沒有人傻乎乎地做十次八次上百次，因此這個σ(平)的確還是有計算的必要。
　　（六）在統計測量（快變量測量）中，“快變量”的變動量必須用σ(單)來表征，因為σ(單)是隨機變量的表征量。而當需要平均值作為該“快變量”的測量結果時，平均值的隨機誤差（注：不是某次測量的測量結果隨機誤差）仍應該用σ(平)表征。
       在基礎測量中，測量儀器的誤差范圍，已包含σ(單)，它遠大于σ(平)，不該再另計入σ(平)，這只是針對以單次測量的測得值我測量結果的情況，如果用N次測量取平均值作為測量結果，該測量結果的隨機誤差不是σ(單)而是σ(平)。這就是史老師所說“測量多次取平均值當測得值，測得值的隨機誤差比取單值的隨機誤差小”的原因，因此，基礎測量中的多次測量取平均值作為測量結果，也離不開σ(平)，怎么能夠得出結論：在基礎測量、統計測量中都不用σ(平)，因此σ(平)無用的結論呢？

規矩灣錦苑 發表于 2014-11-3 12:18
　　（一）測量N次，N個測得值M(i)的平均值是測量結果，記為M(平)。用貝塞爾公式可計算得標準偏差σ，記為 ...

確實如此，實際測量過程中很多會要以平均值做為測量結果，這就離不開σ(平)