轉載：破碎的數

破　碎　的　數
在拉丁文裡，分數一詞來源於frangere，是打破、斷裂的意思，因此分數也曾被人叫做是“破碎數”。
在數的歷史上，分數幾乎與自然數同樣古老，在各個民族最古老的文獻裡，都能找到有關分數的記載，然而，分數在數學中傳播並獲得自己的地位，卻用了幾千年的時間。
在歐洲，這些“破碎數”曾經令人談虎色變，視為畏途。德國人形容某個人陷入困境時，還常常引用一句古老的諺語，說他“掉進分數裡去了”。
我國現在尚能見到最早的一部數學著作，刻在漢朝初期的一批竹簡上，名字叫《算數書》。它是1984年初在湖北省江陵縣出土的。在這本書裡，已經對分數運算作了深入的研究。
稍晚些時侯，在我國古代數學名著《九章算術》裡，已經在世界上首次系統地研究了分數。
例如：“又有九十一分之四十九，問約之為幾何？”書中介紹的方法是：從91中減去49，得42；從49中減去42，得7；從42中連續減去7，到第5次時得7，這時被減數與減數相等，7就是最大的公約數。用7去約分子、分母，就得到了49/91的最簡分數7/13。不難看出，現在常用的輾轉相除法，正是由這種古老的方法演變而來。
公元263年，我國數學家劉徽注釋《九章算術》時，又補充了一條法則：分數除法就是將除數的分子、分母顛倒與被除數相乘。而歐洲直到1489年，才由維特曼提出相似的法則，已比劉徽晚了1200多年！
在人類文化發展的初期，中國的數學遠遠領先於世界其他國家。
虛　偽　的　零　下
自然數都比零大。那麼，有沒有比零小的數呢？
有，這種數叫做“負數”。有了負數以後，不僅大數能減小數，小數也能減大數，減法運算變得通行無阻了。
歷史上，人們對負數是不那麼服氣的，直到16世紀，歐洲大多數的數學家都還不承認負數。德國數學家史提非大聲嚷叫：負數是“虛偽的零下”。
圍繞負數問題，歐洲數學家爭論了很長的時間，而在此之前的1000多年，印度數學家就已經發現了負數。
公元625年，婆羅摩及多在印度最先提出了負數概念。他用“財產”表示正數，用“欠債”表示負數，並用它們來解釋正負數的加減法運算。他指出：兩種“財產”加起來還是“財產”，兩種“欠債”加起來還是“欠債”；零減去“財產”成為“欠債”，而減去“欠債”就變成了“財產”。
這段話的意思是：兩個正數的和是正數，兩個負數的和是負數；零減去正數得負數，而減去負數就等於加上了正數。
不過，世界上最先發現負數的人，並不是印度數學家。比婆羅摩及多早幾百年，我國古代數學名著《九章算術》裡已明確指出：如果“賣”是正，則“買”就是負；如果“餘錢”是正，則“不足錢”就是負。在世界上先對負數概念作出了合理的解釋。
公元263年，我國數學家劉徽注釋《九章算術》時進一步明確指出：兩種得失相反的數，分別叫做正數和負數。
負數概念的產生，是世界科學中上一項重大的發現，也是我國人民對數學發展作出的一項重大貢獻。
文　明　的　標　誌
圓，這是最簡單而又最美麗的幾何圖形，也是人類最早認識的幾何圖形。然而，在這個人們最為熟悉的幾何圖形中，卻隱藏著一個神秘的數：圓周率π。
神　秘　的　兩　棲　物
著名數學家華羅庚說過：“數是數（shu）出來的，一個一個地數（shu），因而出現了1，2，3，4，5……”其實，不僅是自然數，其他一些數的引入，也都與物體的度量有關。分數的引入，與度量物體的細小部分有關；無理數的引入，與度量正方形對角線這類長度有關……
16世紀時，數學家們遇到了一種奇怪的數，這種數與物體的度量無關，而且在很長的一段時間裡，誰都沒能在生活中找到一樣事物，說它需要用這種數來刻畫。
例如，義大利數學家卡當就曾遇見過這種奇怪的數，有一次，他動手解答一道很簡單的數學題：“兩個數的和是10，積是40，問這兩個數各是多少？”
卡當設第一個數是x，由於兩個數的和是10，他將第二個數記作（10－x）；因為兩個數的積是40，於是有x（10－x）＝40，即x2－10x＋40＝0。
這是一個一元二次方程，數學家們早就知道了這類方程的求根公式，只要把方程的係數1、－10、40代入公式裡，馬上就可以算出方程的兩個答案來，可是，當卡當把1、－10、40代入公式後，卻算出了兩個令人困惑不解的怪東西：5＋√(－15)和5－√(－15)。
卡當想，既然√15“僅僅是些記號而已”，那麼，何嘗不把√(－15)也看作“是些記號而已”呢？他鼓足勇氣，“不管良心會受到多大的責備”，把那兩個怪東西當作是兩個數，代入題中進行了演算，瞧：
【5＋√(－15)】＋【5－√(－15)】＝10，
【5＋√(－15)】×【5－√(－15)】＝40，
這兩個怪東西正好是題目要求的數！
　　從這個意義上說，這兩個怪東西應該是一種數。可是，這是一種什麼樣的數呢？卡當沒有弄清楚，17世紀的數學家們也沒有弄清楚。他們覺得這種數不像其他的數那樣“實在”，有一種些虛無縹緲的味道，於是就起了個名字叫“虛數”。
　　18世紀下半葉，大數學家歐拉最先採用i這個記號來表示虛數單位。有了虛數之後，整個數系也就完備了。除了0不能作分母以外，任何兩個數都可以相加、相減、相乘、相除，以及乘方和開方了。
百　錢　買　百　雞
相傳在南北朝時期（公元386－公元589），我國北方出了一個“神童”，他反應敏捷，計算能力超群，許多連大人一時也難以解答的問題，他一下子就給算出來了，遠遠近近的人都喜歡找他計算數學問題。
“神童”的名氣越來越大，傳到了當朝宰相的耳中，有一天，宰相為了弄清“神童”是真的還是假的，特地把“神童”的父親叫了去，給了他100文錢，讓他第二天帶100隻雞來。並規定100隻雞中公雞、母雞和小雞都要有，而且不準多，也不準少，一定要剛好是百雞百錢。
當時，買１隻公雞5文錢，買1隻母雞3文錢，買3隻小雞才1文錢。怎麼才能湊成百雞百錢呢？“神童”想了一會，告訴父親說，只要送4隻公雞、18隻母雞和78隻小雞去就行了。
第二天，宰相見到送來的雞正好滿足百雞百錢，大為驚奇。他想了一下，又給了100文錢，讓明天再送100隻雞來，還規定不準只有4隻公雞。
這個問題也沒有難住“神童”。他想了一會，叫父親送8隻公雞、11隻母雞和81隻小雞去。還告訴父親說，遇到類似的問題，只要怎樣怎樣就行了。
第二天，宰相見到了送來的100隻雞，讚嘆不已，他又給了100文錢，要求下次再送100隻雞來。
豈料才一會兒，“神童”的父親就送來了100隻雞，宰相一數；公雞12隻、母雞4隻、小雞84隻，正好又滿足百雞百錢……
這個“神童”就是張丘建。他繼續勤奮學習，終於成為一個著名的數學家。他的名著《張丘建算經》裡，最後一個題目就是這個有趣的“百雞問題”。
“百雞問題”是一個不定方程問題。
如果設買公雞、母雞和小雞分別為x、y、z隻，依題意可得到方程組：
x＋y＋z＝100
5x＋3 y＋1/3z＝100
在張丘建生活的那個年代，人們還不會佈列不定方程組，那麼，他又是怎樣算出題目的幾個答案的呢？
原來，張丘建發現了一個秘密：4隻公雞值20文錢，3隻小雞值1文錢，合起來雞數是7，錢數是21；而7隻母雞呢，雞數是7，錢數也是21。如果少買7隻母雞，就可以用這筆錢多買4隻公雞和3隻小雞。這樣，百雞仍是百雞，百錢仍是百錢，所以，只要求出一個答案，根據這種法則，馬上就可以求出其他的答案。
這就是馳名中外的“百雞術”。