“平均值的誤差比單次測量結果的誤差小”您怎么看？

最近論壇的帖子上出現了“平均值的誤差比單次測量結果的誤差小”的觀點，您怎么看？

不一定，平均值誤差是由多個單次測量誤差平均后獲得，單次測量誤差在平均值誤差值上下波動

當然是不確定的，上次看到一個帖子好像說跟系統誤差有關系，我很不明白，這應該跟隨機誤差相關啊，單次測得值在平均值周圍分散，單次測量誤差也就在平均值誤差上下分散，也就是有大有小

回復 1# 都成

我認為：必須說“平均值的誤差比單個值的誤差小”。這樣才能鼓勵人們盡可能多測量幾次。如果說誰大誰小不一定，那還提倡多次測量干什么？

在另一個樓的討論中，已經辯論過。我認為辯論不得要領，沒抓到根本癥結，以至于“不定說”站上風。這個問題本來簡單，都是推行不確定度論造成的混亂。多年不普及誤差理論知識了，真該補補課。我先休息幾天（剛剛寫了個長帖），人老了，請原諒，過幾天見。我又得寫個長帖，不然說不清楚。有興趣的網友可以先論論，也考驗一下各位處理實際問題的能力，鍛煉一下各自的思維能力。爭論才印象深刻，學東西就要反復比較?？磿梢栽黾又R，卻難以鍛煉思考能力。不怕想錯，但不想是得不到提高的。如果有人能講清“平均值的誤差比單個值的誤差小”，那我就安心養老了，何必我多嘴。

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個人認為通過正態分布看每次測量結果的話，平均值最接近正態分布的極點，也就是最接近真值。

　　在這一點上，我和史老師的觀點完全一致。之所以鼓勵檢驗人員多測量幾次取平均值作為自己的測量結果，目的就是削弱隨機誤差產生的影響，使測量結果更貼近被測量真值。因此從宏觀或者統計學角度上看，“平均值的誤差比單個值的誤差小”是正確的。
　　另外，單次測量的結果是分散的，也并不否認有個別單次測量的結果剛好與平均值相等，甚至比平均值更貼近真值，但這情況并不是總的趨向，從統計學的觀點來看，絕大多數單次測量結果一定會比平均值偏離被測量真值遠。

從邏輯學來說，“平均值的誤差比單次測量結果的誤差小”，不是能必然推論的。應正確表述為“平均值的誤差比任意單次測量結果的誤差小”，而不是“平均值的誤差比特定單次測量結果的誤差小”

用概率論，這句話表述為“平均值的誤差比任意單次測量結果的誤差小是大概率事件”，但也是依據概率論，小概率事件必發生。

談測量誤差，著眼點應該是誤差范圍，不能講究誤差元。

比較單次測量值的誤差和平均值的誤差，關鍵就是要講究誤差范圍，而不能看誤差元。人們用的是誤差范圍，比較也必須比較誤差范圍。平均值的標準隨機誤差，是σ(平)，σ(平)等于單值的σ的根號N分之一。

設測量儀器的系統誤差范圍為R(系)，多次測量，用貝塞爾公式算σ。單次測量，隨機誤差范圍為3σ；而N次測量，平均值的隨機誤差范圍為3σ(平)。

甲測量一次，測量的誤差范圍是 R(單) = R(系)+ 3σ

乙測量N次，用平均值當測得值，測得值的誤差范圍是R(N)=R(系) + 3σ(平)

甲乙的系統誤差相同。而乙的隨機誤差范圍是甲的根號N分之一。

因此，精密測量要進行多次測量，取平均值，誤差范圍小。也就是準確度高。

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還有一個問題是“誤差元”這個量的特殊性。一般的量，要求量值確定得準確。上偏差與下偏差的不利影響，大致對稱。誤差元這個量與一般量不同，有個上限要求，可以小，而不能大。當誤差元小于誤差范圍要求時，誤差小雖然好，但好處不明顯。而一旦誤差大到一定程度，誤差增大的害處，十分嚴重。因此，對稱分布的隨機誤差與系統誤差合成，單值誤差元使總誤差減小的那一側，作用微弱，幾乎不起實際作用；而單值誤差元使總誤差增大的另一側，則可能影響嚴重。因此，不能等同地看待單次測量誤差元在兩側的作用。

為說明誤差范圍概念的重要性，我寫了“論誤差范圍”一文。是為本欄討論而寫的，但顧及太長，另發。供有興趣網友參考。
   

史老在“再論誤差范圍”http://www.dy313.com/thread-171680-1-1.html的2#最后得出結論如下：
結論：精密測量要進行多次測量。平均值的誤差范圍比單次測量的誤差范圍小。
請注意不是：平均值的誤差比單次測量的誤差小。

　　在這一點上，我和史老師的觀點完全一致。之所以鼓勵檢驗人員多測量幾次取平均值作為自己的測量結果，目 ...
規矩灣錦苑 發表于 2014-3-12 17:39

     同意，我們測量要聯系概率論。盡管單次測量值有1%的可能比平均值離真值更近， 但平均值更能在人們可接受的概率上作為真值的 “”代表“”

就是要多討論才能出結果啊

“平均值的誤差范圍比單次測量的誤差范圍小?！?/font>

“平均值的誤差可能落在的區間范圍比單次測量的誤差可能落在的區間范圍小。”

以上兩句話我不知道有何區別。感覺實質就是“平均值誤差的不確定度比單次測量誤差的不確定度小?！鼻罢呤?/font>n次測量的算術平均值的實驗標準偏差，后者是n次測量結果中某個測得值的實驗標準偏差。

回復 13# 路云

      如果把平均值作為測量結果A，把單次測量的結果記為B，測量結果A的誤差范圍比測量結果B的誤差范圍小。
      正因為如此，說明了多次測量取平均值與單次測量直接獲得測得值這兩種測量方案的準確度前者高于后者，測量方案的誤差范圍前者小于后者，那么測量方法的誤差范圍給測量結果帶來的不確定度勢必前者小于后者。所以，我也贊成你說的“平均值誤差的不確定度比單次測量誤差的不確定度小”。

回復 14# 規矩灣錦苑

回復  路云

      ...正因為如此，說明了多次測量取平均值與單次測量直接獲得測得值這兩種測量方案的準確度前者高于后者，…
規矩灣錦苑 發表于 2014-3-18 21:24

不是準確度前者高于后者，而是可靠性前者高于后者。增加測量次數(增加自由度)的目的是為了提高可靠性，而不是提高準確性。 兩者都經過系統誤差的修正，后者某次的測量結果未必就不比前者準確。測10組，每組測10次取平均值，得到10個測量結果，與10個單次測量結果相比，后者的測量結果的離散程度遠大于前者，這便驗證了后者的可靠性差。

回復 15# 路云

      你說的并沒有錯。
      對于測量方法（檢定方法）而言，不確定度是指測量方法的可靠性或可信性，因此平均值為測量結果的測量方法與單次測量就出具測量結果的測量方法，兩個“方法”相比，“可靠性前者高于后者”，測量方法增加測量次數的目的就是為了提高測量方法的可靠性，而不是提高測量方法的準確性。
      對于測量結果而言，人們更側重于準確性的要求，要求測量結果盡可能趨近于被測量真值。因此就測量結果而言，多次測量取其平均值給出的測量結果和單次測量即給出的測量結果，兩個“結果”相比，“準確度前者高于后者”。意思是平均值作為測量結果比單次測量給出的測量結果更貼近于被測量真值，誤差更小，準確性更高。當然，如果說平均值這個測量結果的可靠性或可信性比單次測量結果更好也是對的，因為根據上面所說，即出具平均值為測量結果的測量“過程”比出具單次測量結果的測量“過程”可靠性和可信性高，從而也使它們各自的“產品”（測量結果）可靠性和可信性高。

回復 16# 規矩灣錦苑
人們期望測量結果趨于被測量真值，這句話沒錯。但測量誤差包括系統誤差和隨機誤差兩部分，它是由兩部分的代數和構成。n次測量取其平均值作為測量結果，它不是更趨于真值，而是更趨于數學期望(平均值的極限)。系統誤差仍然存在，它是不可能靠增加測量次數來減小的。但是該法能夠發現并給出具有適當不確定度的系統誤差，從而對測量結果進行修正。而修正又是另外一種方法，它同樣也適用于單次測量。隨機誤差是不能修正的。所以說，平均值法只能縮小隨機誤差的分布范圍(即不確定度減小)，使其隨機誤差更趨于零。隨機誤差是對稱分布的，大于、小于、等于零的情況都有可能發生。單次測量結果的隨機誤差部分等于零也不是不可能。所以說，隨機誤差趨于零不代表測量結果趨于真值，“平均值更準確”的說法也就不成立。

回復 17# 路云

      是的，測量誤差包括系統誤差和隨機誤差兩部分。n次測量取其平均值作為測量結果，它不是更趨于真值，而是更趨于數學期望(平均值的極限)，系統誤差仍然存在，系統誤差是不可能靠增加測量次數來減小的，但卻能夠發現并給出具有適當不確定度的系統誤差，從而對測量結果進行修正。這些觀點我們完全一致。
      重復性實驗既可以得到單次測量也可以得到多次測量“估計出的”被測量真值分散性半寬，即既可以得到平均值作為測量結果的不確定度，也可以得到多次測量結果的不確定度。n次重復測量的平均值的不確定度是單次測量結果不確定度根號n分之一，因此平均值為測量結果比單次測量結果的不確定度小，可靠性和可信性高。
      對測量結果修正了系統誤差后，隨機誤差將是剩余的主要測量誤差，剩余的隨機誤差是不能修正的，這個觀點我們也沒有分歧。但正如你所說，平均值測量方法可以縮小隨機誤差的分布范圍，使其隨機誤差比單次測量結果的隨機誤差更趨于零。那么修正了已知系統誤差后僅剩隨機誤差的測量結果，雖然某個單次測量結果的隨機誤差等于零并不是不可能，但用統計學的觀點來看，平均值作為測量結果和單次測量結果，這兩種測量結果相比，既然平均值更趨近于被測量真值，其隨機誤差更趨于零，那么“平均值更準確”的說法也就還是成立的。人們常常用多次測量的平均值作為“約定真值”來評價單次測量結果的準確性，把單次測量結果減去平均值的差看作為單次測量結果的測量誤差，就是基于這個道理。

回復 18# 規矩灣錦苑

科學講究的是嚴謹。對于您在16樓的描述：“對于測量結果而言，人們更側重于準確性的要求，要求測量結果盡可能趨近于被測量真值。因此就測量結果而言，多次測量取其平均值給出的測量結果和單次測量即給出的測量結果，兩個“結果”相比，“準確度前者高于后者”。意思是平均值作為測量結果比單次測量給出的測量結果更貼近于被測量真值，誤差更小，準確性更高。”是忽略了系統誤差的概念?！靶拚蟮臏y量結果”與“測量結果”雖然就幾字之差，但表達的意思完全不同?？茖W的描述不應隨意省略限制性說明。測量結果中當系統誤差大于隨機誤差起決定作用時，再怎么多次測量取平均值，都無法使測量結果接近真值。

您在18樓中的描述：“修正了已知系統誤差后僅剩隨機誤差的測量結果，雖然某個單次測量結果的隨機誤差等于零并不是不可能，但用統計學的觀點來看，平均值作為測量結果和單次測量結果，這兩種測量結果相比，既然平均值更趨近于被測量真值，其隨機誤差更趨于零，那么“平均值更準確”的說法也就還是成立的。”從您的這段描述看，我個人覺得仍然有點概念混淆，是將“不確定度”與“隨機誤差”劃了等號。隨機誤差更趨于零是基于不確定度小而得出的結論，表達的仍然是一個區間的概念，即前者的隨機誤差分布區域較后者窄。既然如此，那表達的意思就應該是可靠性(或可信性)的概念，而不是準確度的概念。不能得出“前者的誤差就一定小于后者(或前者更準確)”的結論。甲、乙二人在同一時段，用同一設備在相同的環境條件下對同一被測量進行測量，甲采用多次測量取平均值的方法得到測量結果a，乙采用單次測量的方法得到測量結果b，如果兩人的測量結果相同(a＝b)，你能說“甲、乙二人的測量結果相同，甲的測量結果比乙的測量結果更準確”嗎？顯然是不成立的。相同的誤差得出不同的準確度，顯然不能自圓其說。衡量準確度高低的唯一指標是誤差的絕對值(表示的是測量結果距真值的偏移量)，而不是誤差分布區間的寬窄(表示的是測量結果的離散程度，與真值無關)。誤差分布區間的寬窄是衡量可靠性(或可信性)的指標，其表達方式有多種，不是唯一的，如：重復性、極差、實驗標準偏差等。根據以上分析，我們只能說“甲、乙二人的測量結果相同，具有相同的準確度，甲的測量結果可靠性(或可信性)更高，乙的測量結果具有更大的不確定性(偶然性)”。人們的習慣思維往往容易走入誤區，很容易在可靠性(可信性)與準確性之間劃等號，也很容易在描述時將系統誤差的影響忽略，將平均值與真值劃等號。

回復 19# 路云

      你的觀點是正確的，我并無異議。我的意思不是要忽略系統誤差，而是說已知系統誤差在一般情況下都會被修正，而隨機誤差無法被修正，因此日常在講到測量儀器或測量結果的準確性時，絕大多數情況都是指隨機誤差的大小。
      隨機誤差與不確定度是兩個完全不同的概念，我和老兄的觀點完全一致。雖然隨機誤差和不確定度都可以通過多次測量用貝塞爾公式求得，但做法的含義相差很大。
      計算隨機誤差是將多次測量作為一個測量方法，n是一個預先規定的測量次數，得到的標準偏差是在實施規定的n次測量下，任意一個單次測量結果的隨機誤差變化范圍。
      評估不確定度是在測量次數n充分大，具體次數卻不限的情況下對設計的測量方案進行重復性實驗，得到的是所設計的這種測量方案的可靠性，這是對測量方案進行的科學實驗而不是真正地對被測對象的測量。一旦測量方案的可靠性得到確認，測量方案才會實施。在實施該測量方案時，具體測量次數和實驗次數大多數情況下并不相等，實施測量的次數可能是1次、2次，也可能是更多次。
      如果甲采用多次測量取平均值的方法得到測量結果a，乙采用單次測量的方法得到測量結果b，兩人測量結果相同(a＝b)。就可靠性和可信性而言，甲的不確定度是乙的不確定度除以根號測量次數，正如你所說，甲的方法和結果比乙的可信性或可靠性高。
      就準確性而言，同一個被測對象的真值是同一個，只能說甲、乙二人的測量結果誤差相等，準確性相同。不過就統計學的觀點來看，某個單次測量結果與平均值相等，準確性相同的巧合并不多見。一般情況下單次測量結果均以平均值為中心忽左忽右變化著，這個變化范圍的半寬就是標準偏差。此時測量次數n是規定的，標準偏差代表著單次測量結果的隨機誤差變化范圍半寬。隨著測量次數的增加，這個隨機誤差的變化范圍會收窄，因此就統計學的觀點或宏觀上來看，獲得平均值的測量次數越多，平均值的準確性也越高，以平均值作為測量結果比單次測量結果準確性更高。
      因此說，平均值雖然并不是被測量真值，但因平均值比單次測量結果更趨近于被測量真值，人們又不能通過測量獲得被測量真值，所以常常被人們“約定為”被測量真值來計算單次測量結果的誤差。

回復 20# 規矩灣錦苑

“不過就統計學的觀點來看，某個單次測量結果與平均值相等，準確性相同的巧合并不多見?！?/font>對于有限次的測量來說，單次測量的結果總是在均值附件左右波動。但是要知道，均值不是數學期望，它只是數學期望的估計值，同樣也不是固定的，也是圍繞著數學期望(以下簡稱“真值”)左右波動的，只不過均值的波動區間更窄而已。即便是兩者不等(除了異常值)，你也不能斷定均值就一定比單值更接近真值，除非你進行了無限多次的測量。你只能說“均值接近真值的概率比單值大”，而真值是無法得到的(因為無法進行無窮多次測量)。對于有限次的測量來說，我們只能根據貝塞爾公式來估計這個真值可能落在的區間范圍(即平均值的實驗標準偏差)，這個區間范圍內的任意一點(無論是平均值還是單次測量值)都有可能是真值(因為不確定度的意義就是真值不能確定的區間半寬度)，只不過平均值是真值的可能性比單次測量值是真值的可能性大而已，這與上文紅字部分的意思是一致的，而不是你說的“平均值一定比單次測量值更接近真值”。

回復 21# 路云

      你說的很對，也更確切一些。平均值雖然并不是被測量真值，但站在統計學或宏觀角度來看，因平均值的波動區間更窄，均值接近真值的概率比單值大，即平均值比單次測量結果趨近于被測量真值可能性更大，這和我說的“就統計學的觀點來看，某個單次測量結果與平均值相等，準確性相同的巧合并不多見”異曲同工。人們不能通過測量獲得被測量真值，所以常常把平均值“約定”為被測量真值，用來計算單次測量結果的誤差。

回復 22# 規矩灣錦苑

正是因為平均值與單值想比，前者的可靠性高于后者，人們才約定將修正后的均值作為“參考量值”(注：依據新版JJF1001－2011《通用計量術語及定義》第8.19條，“約定真值”以改稱“參考量值”)。只要單值等于真值的概率不等于零，只要均值等于真值的概率不是百分之百，就不能下“均值一定比單值更準”的定論，只能用“更可靠”(或“更可信”)這樣的術語來描述。如果一定要用準確性方面的術語來描述，那只能說：“均值比單值更準確的概率(或稱可能性、把握性)大于單值比均值更準確的概率?！?/font>

回復 23# 路云

      均值比單值“更可靠”(或“更可信”)一點都沒有錯，但如果要約定某個量值作為被測量真值（參考值），這個量值僅僅可靠和可信是不夠的，作為“約定真值”（參考值）來說更重要的是對它接近理論真值的程度要求，即更側重于對其準確性的要求。人們之所以約定將修正已知系統誤差后的均值作為“參考量值”（真值），除了看重其可靠性或可信性優于單次測量結果外，更為重要的是因為就統計學和宏觀的角度上更看重平均值比單次測量結果更接近于理論真值，更準確這個特性。
      當然，老兄解釋為“均值比單值更準確的概率大于單值比均值更準確的概率”也并無不妥，老兄這句話的意思與“站在統計學和宏觀的角度上看，平均值比單次測量結果更接近于理論真值，更準確”并無本質上的矛盾。因此，我認為我們的觀點是完全相同的，只不過說法方式有點差異。

既然僅僅可靠和可信是不夠的，還要要求準確，那就分別用兩個不同的指標來要求。前者可用不確定度、重復性、穩定性等指標來對測量結果的離散程度加以限定，這些指標都與真值無關，因此它們不具有評價準確程度的功能。后者可用最大允許誤差范圍來加以限定，這才是評價準確程度的唯一指標。我個人認為，我們不要總是將這些定量表征離散程度的指標與誤差、準確度扯到一起，硬要將其賦予評價準確度的功能。

“均值比單值更準確的概率大于單值比均值更準確的概率”與“站在統計學和宏觀的角度上看，平均值比單次測量結果更接近于理論真值，更準確?！?/font>這兩句話粗略看是沒有本質區別，但細究起來卻有著本質的區別。區別就在于前者表達的意思是一個概率事件，而后者表達的意思是肯定事件。我不贊成后一種說法，理由已在23樓中闡述，除非“平均值比單次測量結果更接近于理論真值”這一事件發生的概率為100%。

既然兩者都已進行了系統誤差的修正，理論上來說準確度應該是一致的。兩者的區別就只剩下量值分布區間的寬窄不同了，兩者的分布區間的對稱軸(理論真值)是重合一致的，從這一方面去比較，就只能比較出誰更可靠了，比較不出誰更準。如果要比較誰更準，那只能分別比較某個具體測量結果的隨機誤差(殘差)的絕對值了。但由于真值不確定，所以兩者的殘差誰大誰小也就自然不能確定。所以只能用參考量值(真值的估計值)來計算各自殘差絕對值的估計值了，在這種情況下無法保證每個均值殘差的絕對值都小于每個單值殘差的絕對值，故不能下“平均值比單次測量結果更接近于理論真值”的定論。