測量的隨機偏差公式——測量計量基本概念(13)

               測量的隨機偏差公式

                    ——測量計量基本概念(13)

                                                        史錦順

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（一）隨機偏差的偏差范圍公式

以下討論隨機偏差的合成。設被測量是一個大常量疊加一個小變量，這個小變量稱隨機偏差，量的隨機偏差記為r(量)，測量儀器的隨機誤差記為r(儀)，量值測量結果的隨機變化記為r(測)。統一稱為偏差元r(量)、r(儀)、r(測)，它們的基本關系是：

               r(測)= r(量) + r(儀)                                                                      （1）

（1）式是基本物理公式，是構成式（見附錄）。

定理： 大量采樣的條件下，二獨立隨機變量和的σ的平方，等于二量中每個量的σ平方的和。

偏差元關系：

              r(測)= r(量) + r(儀)                                                                       （1）

方差關系：

              σ(測)^2 = σ(量)^2 +σ(儀)^2                                                      （2）

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證明

測量N次。第i次測量為

               r(測i)= r(量i) + r(儀i)                                                                  （3）

對（3）式兩端平方求和取極限

               D r(測i)^2 = D [r(量i) + r(儀i)]^2                                              （4）

（4）左端為r(測)的定義方差，當N為有限值時，就是采樣方差σ(測)^2.（通常所簡稱的方差。）

（4）式的右端為：

       右 = Lim(N→∞)∑(1/N)[r(量i) + r(儀i)]^2

                      = Lim(N→∞)∑(1/N) [r(量i)^2 + 2 r(量i)r(儀i) + r(儀i)^2]

                      = Lim(N→∞) (1/N)∑r(量i)^2

                         + 2(1/N)Lim(N→∞)∑[r(量i)r(儀j)]

                         + Lim(N→∞) (1/N)∑r(儀i)^2                                            （5）

（5）式的第二項是交叉乘積項，被測量的變化與儀器自身因素的變化量，它們是相互不相關的，是各自獨立的。此交叉項有正有負，正負幾率相等，大量交叉項相加結果相互抵消，當N趨于無窮時，第二項的極限是零。當N有限時，只要N足夠大，則第二項即交叉項的值可以忽略。于是，當N足夠大而為有限值時，有方差關系

               σ(測)^2 = σ(量)^2 +σ(儀)^2                                                      （2）

即公式（2）成立，證畢。

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（二）隨機偏差公式可能的錯誤

1 將誤差元構成公式移項

              r(量) = r(測)―r(儀)                                                                        （6）

由（6）式出發。測量N次。第i次測量為

              r(量i) = r(測i) - r(儀i)                                                                     （7）

對（7）式兩端平方求和，取極限

              Lim(N→∞)∑(1/N)r(量i)^2=Lim(N→∞)∑(1/N)[r(測i)+r(儀i)]^2                    （8）

（8）左端為r(量)的定義方差，當N為有限值時，去掉取極限符號就是采樣方差σ(量)^2.

（8）式的右端為：

     右 = Lim(N→∞)∑(1/N)[r(測i) + r(儀i)]^2

                    = Lim(N→∞)∑(1/N) [r(測i)^2 - 2 r(測i)r(儀i) + r(儀i)^2]

                    = Lim(N→∞) (1/N)∑r(測i)^2

                       + 2(1/N)Lim(N→∞)∑[r(測i)r(儀i)]

                       + Lim(N→∞) (1/N)∑r(儀i)^2                                             （9）

（9）右端第一項 (1/N)∑r(量i)^2是被測量值的方差σ(量)^2。

（9）右端第三項 (1/N)∑r(儀i)^2是儀器的方差σ(儀)^2。

  如果認為（9）第二項2(1/N)∑[r(量i)r(儀i)]（交叉項）可以忽略，則可得出

               σ(量)^2 = σ(測)^2 +σ(儀)^2                                                      （10）

（10）是錯誤公式。原因是交叉項不能忽略。r(測i)與r(儀i)不但不是相互獨立，而且是相互強相關，是正相關，且相關系數是+1。乘積項r(測i)r(儀i)必為正值。此乘積項不可忽略。從公式推導的邏輯來說，（6）式不是物理公式的構成式，不能做為推導方差關系式的基礎。

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2 第2種錯誤，讀者不難補寫，此處從略。

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附錄  關于公式（1）與相關系數的思考

設被測量為L，測得值為M，測量儀器的實際傳遞函數為K，傳遞函數的標稱值為K(O)

             M = K/K(O)L

             M(O)+Δ(測) = [1 +Δ(儀)][L(0)+ Δ(量)]

             Δ(測) = Δ(儀) + Δ(量)

測得值的改變量與測量儀器傳遞函數的改變量正相關，相關系數為+1。

測得值的改變量與被測量的改變量正相關，相關系數為+1。

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謝謝 指導！！

很詳細啊，但看見公式就頭大，哈哈