本帖最后由 史錦順 于 2014-1-23 17:47 編輯
誤差公式的可能錯誤與原因分析
——測量計量基本概念(12)
史錦順 - （一）誤差范圍公式 參照《數(shù)學手冊》（1978版，237頁）給出的量的代數(shù)和的誤差公式編寫。 A量的測得值是A(測)，真值是A(真)。 誤差元： r(A)= A(測)―A(真) （A.1） 誤差范圍是 R(A)= │r(A)│max=│A(測)―A(真)│max （A.2） B量的測得值是B(測)，真值是B(真) 誤差元： r(B)= B(測)―B(真) （B.1） 誤差范圍是 R(B)= │r(B)│max=│B(測)―B(真)│max （B.2） 類似，合成量C的誤差范圍記為R(C).合成量D的誤差范圍記為R(D)。 - 定理一： 二量和的誤差范圍等于二量誤差范圍之和 C=A+B （C.1） R(C)= R(A)+R(B) （C.2） 證明： 由基本公式（C.1）,誤差元為： r(C)= r(A)+r(B) （C.3） 誤差范圍為
R(C)=│r(C)│max = │r(A)+r(B)│max =│r(A)│max+│r(B)│max = R(A)+R(B) （C.4）
定理一得證。 - 定理二： 二量差的誤差范圍等于二量誤差范圍之和（是和，不是差） D = A―B （D.1） R(D) = R(A)+R(B) （D.2） 證明： 由基本公式（D.1），誤差元為： r(D)= r(A) ―r(B) （D.3） 誤差范圍為
R(D)=│r(D)│max = │r(A) ―r(B)│max 誤差元是可正可負的量 R(D)=[±│r(A)│―[±│r(B)│]max = R(A)+ R(B) （D.4）
定理2得證。 以上是正確公式。 - （二）錯誤的誤差范圍公式 1 正確公式 基本的、物理意義符合客觀實際的公式，本文稱其為“構(gòu)成公式”。設(shè)構(gòu)成公式為： C=A+B （1.1） 誤差范圍公式 R(C)= R(A)+R(B) （1.2） - 2 可能操作1 將（1.1）式移項 A = C–B （2.1） （2.1）式由構(gòu)成公式（1.1）式推得，數(shù)學上成立；但移項喪失了（1.1）式的物理意義，不是構(gòu)成公式。 （2.1）為二量之差，據(jù)定理2 應(yīng)有： R(A) = R(C)+R(B) （2.2） 3 可能操作2 將（1.1）式移項 B = C–A （3.1） （3.1）式由構(gòu)成公式（1.1）式推得，數(shù)學上成立；但移項喪失了（1.1）式的物理意義，不是構(gòu)成公式。 （2.3）為二量之差，據(jù)定理2 應(yīng)有： R(B) = R(C)+R(A) （3.2） - 4 三個誤差公式中有兩個是錯誤公式 綜上，有三個誤差范圍公式： R(C)=R(A)+R(B) （1.2） R(A)=R(C)+R(B) （2.2） R(B)=R(C)+R(A) （3.2） （1.2）（2.2）（3.2）三個公式是矛盾的。 第一種判斷法：R(C)是整體，R(A)是部分，部分不可能大于整體，因而（2.2）錯誤；R(B)是部分，R(C)是整體，部分不能大于整體，因而（3.2）錯誤。 第二種判別法 聯(lián)立（1.2）（2.2）（3.2）三式，解得R(A)、R(B)、R(C)都是零，這顯然不可能。說明三式不能同時成立。其中（1.2）是對的；而（2.2）、（2.4）必是錯誤的。 總之，誤差公式（2.2）、（2.3）是錯誤公式。 - （三）出錯的原因 物理公式的物理意義必須確切。 基本物理公式，又稱物理公式的構(gòu)成式，等號左端與等號右端有如下關(guān)系： 1 結(jié)構(gòu)關(guān)系。等號左端為總量，右端為分量。即構(gòu)成關(guān)系。 2 因果關(guān)系。等號右端為來源量。右端是因，左端是果。 物理公式等號的左右端移項之后，雖然數(shù)量關(guān)系對，可以用來計算，但物理公式一經(jīng)移項，常常改變了物理意義，可能成為另一物理過程的表征。因此，由物理公式求誤差范圍公式的推演，應(yīng)從物理公式的構(gòu)成式出發(fā)。 - 上述誤差范圍公式（2.2）、（2.4）推導所根據(jù)的物理公式，不是物理公式的構(gòu)成式，故形成錯誤。 例 有兩個鋼棒，A鋼棒的測量結(jié)果為： L(A)=M(A)±R(A) B鋼棒的測量結(jié)果為： L(B)=M(B)±R(B) 兩棒連接(設(shè)光滑端面緊密連接)，求總長度C的誤差范圍。 設(shè)M(A)為100.12mm，R(A)為0.10mm；M(B)為70.23mm，R(B)為0.07mm 1 正確算法
物理公式(構(gòu)成式)為 L(C)=L(A)+L(B) （3.1） 由此出發(fā)，根據(jù)定理一，合成量的誤差范圍為： R(C)= R(A)+R(B) （C.2） 代入具體量值為
R(C)= 0.10mm+0.07mm = 0.17mm A段誤差范圍0.10mm，B段誤差范圍0.07mm，這是測量事實，得到總長誤差范圍0.17mm,是正確的，是符合客觀事實的。 - 2 錯誤算法 物理公式不用（3.1）而移項為： L(A) = L(C)-L(B) （3.2）
（3.2）式是二項之差，依定理二（二量差的誤差范圍等于二量誤差范圍之和）該有 R(A)= R(C)+R(B) （3.3） 已知實際情況是R(A)為0.10mm ，R(B)為0.07mm，R(C)為0.17mm，顯然，公式（3.3）是錯誤的。公式（3.3）錯誤表現(xiàn)在：部分大于總體，違反因果關(guān)系，數(shù)值關(guān)系錯誤。
公式（3.3）為什么錯誤？是因為推導時所依賴的公式（3.2）式，不是物理公式的原型，不符合本來的物理意義，不是物理公式的構(gòu)成式。因此不能做為推導的出發(fā)點。 - | 
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