一種蒙特卡羅方法在測量不確定度評定中的新算法

   該文通過對現有利用蒙特卡羅方法進行不確定度評定過程的分析，指出了目前評定過程中存在理論上的不銜接，并給出了一種全新的利用蒙特卡羅方法進行不確定度評定的算法，彌補了現有方法的缺憾。
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2011-12-13 09:22 上傳

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文章在計量與測試技術雜志上，已拜讀，很有見地，崔老師雖年輕但已能稱為不確定度方面深入研究專家，如有機會當面請教。

曲高而和寡，蒙特卡羅（蒙特卡洛）法評定不確定度大面積在基層計量系統推廣尚需時日。

回復 3# chuzhoujls


待新版JJF1059.2施行后，就得推廣了。

回復 4# 長度室
JJF1059.2中對MCM評定不確定度沒有提供使用的具體數學軟件的編程案例，參考了許多資料發現用MATLAB的占大多數。

拜讀一下崔老師的大作！

拜讀了崔先生的大作！
文中有幾點我認為值得商榷：
1.  “該文通過對現有利用蒙特卡羅方法進行不確定度評定過程的分析，指出了目前評定過程中存在理論上的不銜接，并給出了一種全新的利用蒙特卡羅方法進行不確定度評定的算法，彌補了現有方法的缺憾。”我認為該提法不妥，崔先生自身理論概念上存在錯誤所致。具體如次。
2. 崔先生文中推導了公式（3）后認為存在某種問題導致方差存在差異，是沒有搞清“合并樣本單次測量結果的方差（或標準偏差）”和“平均值的方差（或標準偏差）”兩者的概念上的區別所致。理論上，一個量的單次測量值（模擬值）和多次測量（模擬）值的平均值都是隨機量。對同一個量的兩次模擬，原理上，只要樣本量足夠，其合并樣本的單次測量（模擬）值的方差（或標準偏差）與每一次模擬的單次測量（模擬）結果方差（或標準偏差）是差不多的。而崔先生給出的公式（3）表示的是兩次測量結果“平均值的方差”，眾所周知“平均值的方差（偏差）”與樣本量有關。一個量的多次測量結果的平均值與該量單次測量結果是兩個不同的隨機量。崔先生如果再推導一下不同次數的平均值的方差公式，就會發現這一點。
3. 由此，我認為崔先生提出的所謂新算法，從理論上是錯誤的。

回復 7# 文哥
謝謝您閱讀了本文：
1.拙文所說的“  理論上的不銜接”并非您所指出的“單次測量結果的方差和平均值的方差”的差異，本文所指的理論不銜接包括。
  （1）蒙特卡洛方法模擬的是期望，而不是方差（這可以從蒙特卡洛依據的原理可以看出），這是最根本一個原因；
    (2)  一般情況下，滿足重復性條件的一組測量結果可以看作一個測量樣本，因而其單次測量結果的方差和平均值的方差的比值為n（n為樣本容量），此時，隨著樣本容量的增大，兩種樣本方差均逐漸逼近理論方差。然而如果利用蒙特卡洛方法模擬，一個人模擬的n個測量結果與另一個人模擬的n個測量結果可以被看作兩個隨機變量的樣本，對這樣的兩個隨機變量的樣本，理論上有兩種處理方式
         a.合并為樣本容量為2n的測量樣本；
         b.按(X+Y)/2處理后形成樣本容量為n的測量樣本；
         這兩種處理方式對于樣本均值都無影響，但是對于方差（也就是我們所說的不確定度）卻可能有很大的不同，這也就是為什么我說存在理論上不銜接的一個原因。
2.關于方差減小技術在概率學上已有成系統的理論。
3.所以您對我文章的評論在理解上有偏頗。
4.歡迎您繼續討論。

回復  文哥
謝謝您閱讀了本文：
1.拙文所說的“  理論上的不銜接”并非您所指出的“單次測量結果的方差和 ...
崔偉群 發表于 2012-10-29 14:03

    我認為：原理上，蒙特卡羅對隨機變量的模擬，是對分布函數的整體特征進行模擬，對分布函數進行分析可以得到期望和方差（如果它們存在的話），而并非崔先生說的只是對期望的模擬而非對方差的模擬；在不確定度的MC模擬實踐上，也應依據實際的測量程序進行模擬而不是脫離實踐進行，比如，對某一個輸入量，如果實踐中是通過N次測量取平均值作為其輸入值，模擬中就需要對該量進行N組抽樣取平均值（每組均需抽樣M個，對該量的分布，可以通過實測量值依據貝葉斯理論或最大熵原理來確定）或者直接依據該輸入量N次平均值的分布進行抽樣，而非象您說的“為了更精確，多作一次模擬”，因此不存在您文中公式（3）說的問題。對其它不是通過多次測量用統計方法確定的輸入量，也就通常所謂的B類方法確定不確定度的輸入量，應當依據理論、經驗等確定的分布進行模擬，對這些輸入量，就不應該進行模擬N個相同量的平均值來提高所謂精確度，因為那樣就脫離了實際。

回復 9# 文哥

1.您的認為正是我們對這一問題理解不同的根本原因
   希望您多看看有關蒙特卡洛方法起源的書，這樣或許對您理解這一問題有幫助。
2.如果我們很容易地能夠對分布函數進行分析，實際上我們根本用不著蒙特卡洛方法。
3.我也贊同您應依據實際的測量程序進行模擬而不是脫離實踐進行，如果您感興趣，我有一篇文章專門論述該問題，在該文中，我的大致結論如下：
   1）蒙特卡洛方法用于模擬A類不確定度沒有意義；
   2）蒙特卡洛方法用于模擬B類不確定度有意義；
4. 因而拙文所探討的是蒙特卡洛方法用于模擬B類不確定度時存在的不銜接。
5. 歡迎您繼續討論。

回復 10# 崔偉群


    崔老師致力于不確定度評定研究探討令人敬佩。您所探討的“蒙特卡洛方法用于模擬B類不確定度時存在的不銜接”能否在JJF1059.2發布前得到糾正，否則全國人們都要跟著吃苦。

回復  文哥

1.您的認為正是我們對這一問題理解不同的根本原因
   希望您多看看有關蒙特卡洛方法起源的書 ...
崔偉群 發表于 2012-10-30 08:14

    許多做蒙卡模擬的都不知道自己模擬的是什么，這是做模擬計算者的悲哀。
    我說過了，某個待測量和該量多個觀測值的平均值是兩個不同的隨機量，模擬抽樣不同，希望崔先生認真理解，不要輕言ISO 98－3 SP 1理論上存在“不銜接”等問題，正如你所言，MC方法本身有比較成熟的理論支持，關鍵是自己理解、應用是否正確得當。
   蒙卡方法起源于我所從事的專業。

回復 12# 文哥

很抱歉，恕我愚鈍，我不能理解您想說什么?

也許是個人表達的風格問題,為了使我們能夠具有共同話題，希望您能解答如下問題：

1）您認為的蒙特卡洛能夠模擬方差的數學定理是什么？

2）您認為不確定度評定的蒙特卡洛模擬在模擬什么，是如何應用的？如果方便，您可以給出一個例子供大家討論。

3）不確定度評定的蒙特卡洛模擬模擬出的平均值在測量上的含義是什么，模擬出的方差在測量上的含義是什么？

謝謝！

1  崔先生認為“蒙特卡洛方法模擬的是期望，而不是方差（這可以從蒙特卡洛依據的原理可以看出）”，如果真是崔先生認為的那樣，那么用MC方法來評定不確定度就從根本上失去了理論基礎而不僅僅是理論上不銜接。實際上蒙特卡羅方法模擬的是隨機變量的整體分布特征，它對分析作為隨機變量的復雜函數特別是多維非正態分布隨機變量的函數的隨機量有較大優勢。對輸出隨機量進行統計分析，比如計算期望，可以得到所需問題的解；而不確定度的MC模擬評定，需要得到的是隨機輸出量的標準偏差（標準不確定度）或一定置信概率的包含區間，也就是說包含了對方差的模擬。
2 崔先生認為“如果我們很容易地能夠對分布函數進行分析，實際上我們根本用不著蒙特卡洛方法。”請問，如果不能對輸入量的分布函數進行分析確定，不確定度MC評定時如何依據分布函數對輸入量進行抽樣？實際上，不確定度MC評定，主要解決的是解析評定方法應用不方便、有困難的不確定度傳播、合成問題。我們知道，對于作為多維隨機變量的函數的隨機量，依據各輸入隨機變量的分布解析地確定輸出量的分布并確定其統計量是很困難的，即使對于GUM方法可以應用的情況，也是在簡化假定模式下進行的，MC方法可以避開解析分析輸出隨機量的困難；然而，對于輸入量，它仍然需要而且在評定過程較早階段就需要確定各它們的分布函數（無論實際確定是否容易，依據理論、經驗、實驗總是要確定的），并依據輸入量的分布函數來進行抽樣。

回復 14# 文哥


1）您能舉出除了不確定度用蒙特卡洛方法求方差外，還有其他用蒙特卡洛求方差的例子嗎？
2）我說的分布函數當然涵蓋合成分布函數，希望您不要理解偏了，這是順著您的語境寫。

回復 15# 崔偉群

    模擬，就是數值實驗，對樣本進行統計分析，得到所需的統計量（包括我們不確度模擬需的方差（標準偏差））。核物理能譜模擬，能譜的展寬實際上也與方差有關。

   降方差技巧是為了使模擬收斂更快人為對抽樣進行干預，我覺得在不確定度MC模擬中不能用該技巧，我查閱了一些不確定度MC評定的文獻，如NPL的一些報告，其中均未提及降方差技巧應用。

回復 16# 文哥

1.您的“模擬，就是數值實驗，對樣本進行統計分析，得到所需的統計量（包括我們不確度模擬需的方差（標準偏差））”這句話源于您自己的理解，還是有出處？
   這句話里，您用統計量換掉了期望，我不知道源于那篇文獻？
   

  您說過“在不確定度的MC模擬實踐上，也應依據實際的測量程序進行模擬而不是脫離實踐進行”
1）您認為的蒙特卡洛能夠模擬方差的數學定理是什么？

2）您認為不確定度評定的蒙特卡洛模擬在模擬什么，是如何應用的？如果方便，您可以給出一個例子供大家討論。

3）不確定度評定的蒙特卡洛模擬模擬出的平均值在測量上的含義是什么，模擬出的方差在測量上的含義是什么？

謝謝！

回復 17# 崔偉群


    好吧，前面我的文字描述中實際上說得還是比較清楚的。咱們舉個簡單的例子，比如測量模型是Y=X*Z，其中實踐中X是8次測量的平均值，Z是一個一次實測值或理論值。我們對Y的不確定度進行模擬時，有兩種方案：一是根據X的分布（理論的、經驗的或是根據這8個實測值通過假設檢驗的分布）對X進行8組抽樣，對Z依據其分布進行一組抽樣，每組試驗數均為M，然后計算Y=西格馬X/8*Z，對Y進行統計，得到不確定度；二是直接對8次X均值依據X均值分布和Z進行抽樣，試驗數M，計算Y，對Y進行統計，得到不確定度。可以驗證，兩種方案得出的不確定度是差不多的，不存在你文中公式（3）所出現的問題。這就是我說的評定不能脫離實踐。

回復  文哥

1.您的“模擬，就是數值實驗，對樣本進行統計分析，得到所需的統計量（包括我們不確度模擬需 ...
崔偉群 發表于 2012-10-30 22:00

    如果崔先生認為蒙特卡羅模擬的結果只能是期望的話，那對蒙卡的應用范圍就小看了。

回復 18# 文哥

呵呵，我好想發現了我們的區別，我的算法是：
1.已知測量模型Y=X*Z
2.同樣的測量數據，我們能在不同的機器上模擬出N個Y
3.第一臺機器上模擬出的Y定義為Y1，第二臺機器上模擬出的Y定義為Y2
4.此時有兩種處理方法
    1）合并N個Y1的樣本和N個Y2的樣本求方差；
    2）形成（Y1+Y2）/2的N個樣本求方差
  則此二者的結論可能不同
   

回復  文哥

呵呵，我好想發現了我們的區別，我的算法是：
1.已知測量模型Y=X*Z
2.同樣的測量數據，我們能 ...
崔偉群 發表于 2012-10-30 22:27

    呵呵，“模擬要依據實踐中的測量程序”啊，不管你在哪臺或多少臺計算機上進行啊，這是我的核心觀點。

崔先生的文章給了我很多啟發，這上面交流不便，憾甚。

如果崔先生認為蒙特卡羅模擬的結果只能是期望的話，那對蒙卡的應用范圍就小看了。 ...
文哥 發表于 2012-10-30 22:20

1）如果除了不確定度使用方差模擬外，您還有其他文獻明確支持模擬方差的話，請您明示，我好參考；
2）數值模擬是需要評價手段的，如果模擬的是方差的話，那又如何評價模擬的質量？

1）如果除了不確定度使用方差模擬外，您還有其他文獻明確支持模擬方差的話，請您明示，我好參考；
2）數值 ...
崔偉群 發表于 2012-10-30 22:38

    評價手段就是多次模擬，再看各次模擬結果是否符合。

MC模擬應用最專業最深奧的就是核技術了，有MCNP等專業MC軟件啊，需要什么統計量就對樣本的什么統計量進行分析。