方差的新概念—兼論阿侖方差

                        方差的新概念—兼論阿侖方差

                                                             史錦順

                   摘要
                     指出當今風行于世的阿侖方差有錯誤。詳細分析了阿侖方差的來龍去脈，指出阿侖方差前提出錯，以至物理意義費解。

             本文在揚棄阿侖方差的基礎上，提出物理意義十分直觀的自差統計這一新概念，既能表征頻率穩定度，又可表征基準的

             不確定度。用于雷達測速的精度分析，簡潔方便。

      （告網友：本文中有較難查到的貝塞爾公式、阿侖方差公式的推導。）

                            引言

    阿侖方差是美國人阿侖于1966年提出的[1]，1971年被11位時頻界權威人士推薦，作為頻率穩定度的表征量[2]。此后，阿侖方差迅速風行于世，并進入多項國際性標準。我國也隨之采用，并載入多種教材與多項國家標準中。

    阿侖方差強調取樣時間，對頻率穩定度表征方法的統一，有所貢獻。但是，阿侖方差有錯誤。

    阿侖方差的錯誤之一是引用貝塞爾公式時忘記了貝塞爾公式成立的條件，即測量次數N必須足夠大。阿侖在推導中引用貝塞爾公式，同時令N等于2，這是不能并存的兩件事。要用貝塞爾公式，N必須足夠大，不能令N等于2，因為N等于2時貝塞爾公式不成立；出于某種理由，要令N等于2，那就不能引用貝塞爾公式，道理同前，N等于2時得不出貝塞爾公式。

    阿侖方差要處理的是存在發散困難的情況，而引用貝塞爾公式卻是承認有數學期望、無發散的條件，這就違反了阿侖方差提出的前提，犯了前提性的錯誤。

    阿侖方差的錯誤隱含在繁雜的數學推導中，又似乎以多組測量來等效多次測量，致使不少大師級學者受蒙蔽。

    阿侖方差表達公式有誤，但阿侖方差理論有其合理部分。正視發散困難、強調采樣時間，都要肯定；而取二量，且是差值，這啟發筆者想到取自差。

    本文在揚棄阿侖方差的基礎上，提出自差統計這一新概念，自差統計不僅用于頻率穩定度的表征，而且為基準的不確定度提供了表征方法。

    本文詳細論述方差理論，目的有二：其一，測量與統計兩學科并講，以看出二者的區別與共同點；其二，分析清楚經典方差理論的來歷，正可以批駁當今的權威理論阿侖方差。筆者以前在計量學術會議上批評阿侖方差的幾篇文章，都是只點出問題，未便多講方差理論，有些人覺得查找不便；本文補上這一點，以便于讀者品評、比較。

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2011-1-18 07:59 上傳

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謝謝史老師分享

史老多次提到不確定度論否定真值，但是我并沒有覺得有否定啊，我印象里不確定度論只是說真值的不可得。這并不是指真值不存在而是不可得。就像小孩拿高處的東西，并不是東西不存在，而是夠不到。

史老有沒有效自由度的評定公式（韋爾奇-薩特思恩特公式）的推導啊，想學習學習。

回復 3# yzjl3420646

“否定”一詞的應用，有四個層次：1是否存在，2 是否可知，3是否能用，4是否主流。第四點常見于歷史人物評價，如說“秦始皇有功有過，肯定他還是否定他，歷來有不同觀點。”這里，否定派否定的是秦始皇功大，不是否定他在歷史上的存在。對真值的否定是前三個層次。1層意義的否定有一次，2層意義的否定多次，3層意義的否定是不確定度論的本質——否定誤差、誤差范圍、準確度這些基本概念的功能，說這些概念沒用，以便于推行那個他自己也說不清楚“是什么”的不確定度。我多處說的“不確定度論否定真值”，就是在這三個層次上說的。請看下邊的短文。

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不確定度論是怎樣否定真值的

我們分析不確定度論，著重三篇文件： 測量不確定度表征導則（國際標準化組織等八個國際組織的指導性文件，簡稱GUM）；國際通用計量學基本術語（ISO等八個國際組織標準，簡稱VIM）；NIST TN1297（美國國家標準技術研究院文件，以下簡稱NIST文件）。請看這三個基本文件是怎樣否定真值并進而否定誤差與準確度的。

一 GUM：

1. 在談論不確定度的第1個定義（涉及誤差）和第2個定義（涉及真值）時，GUM說：“它們著眼于不可知的量：測量結果的‘誤差’和被測量的‘真值’（不是它的估計值）” ——2.2.4

    2.“誤差是一個理想的概念，誤差不可能準確知道。”——3.2.1

    3.“真值按其本性是不可確定的。”——B.2.3

4.“準確度”是一個定性的概念。——B2.14

    5.“術語‘被測量的真值’或量的真值（常簡稱‘真值’）在本導則中避免使用，因為‘真’字被看作是多余的。‘被測量’意味著‘受測量的特定量’，因此，‘被測量的值’意思是‘受測量的特定量的值’。因為‘特定量’通常理解為定義的或規定的量。在‘被測量的真值’中的形容詞‘真’是不必要加的——被測量的‘真值’（或量的‘真’值）就是被測量的值。（或量值）。此外，正如前面討論所指出的，單獨的‘真值’僅是一個理想的概念。”——D3.5

    6.“本導則的重點是測量結果及其評定的不確定度，而不是不可知量‘真’值和誤差。…本導則實際上要將不確定度和不可知量‘真’值和誤差即通常要混淆的術語區分開。”——E.5.1

7.“事實上，本導則的使用方法的重點是放在量的觀測的（或估計的）值和該量值的觀測到的（或估計的）變動性，完全不必提及任何誤差。”——E5.4

二 VIM

1 量子效應排除唯一真值的存在（VIM第一版（1984）1.18）

    2 “在經典的研究中，真值是描述被測量的單一的量值。要得到真值，需靠理想完美的測量，這是一種沒有測量誤差的測量。真值，依其本性，是不可能得到的。”——VIM（2004版）附件A1注1

    3 “在不確定度的研究中，‘真值’的概念被廢止。”——A1（1.19）注2

    4 “準確度不能用數值表達。”——A2（3.5）注1

三 NITS文件

1 “‘準確度’是一個定性的概念。”“由于‘準確度’是一個定性的概念，不應該將它用數字定量表示。”——D.1.1.1

    2 “一般說來，測量的誤差是不知道的，因為被測量的值是不可知的。”——D.1.1.4

    上述三大文件的這13條，都是錯誤的。如果有什么不同意見或不解，請提出來，我可以逐條詳談。討論學術、有機會表達、宣傳自己認為正確的觀點，是快樂的事。因為論述的是計量學術界的大事，多談詳談是值得的。

回復 5# 史錦順

感謝史老的指點，或許我受到了不確定度論的“污染”，但我覺得不確定度論的一些論述還是有些道理的。
        以下是我了解和理解的這幾個詞條的意義：
        1.真值  真值與給定的特定的量定義一致的值。那么所謂的“特定量的定義”是什么呢？就是被測量嘛，那么這句話意思就是真值等同于被測量。這就好解釋GUM中為什么提出避免使用“真值”這個詞條：當“被測量”和“真值”組成“被測量的真值”的時候同一個定義被重復使用了。
        2.準確度  準確度是測量準確的程度，算是個簡寫吧。我們確實可以用誤差直接表述出測量準確的程度，但是基于測量誤差不可得的理論（下一條解釋），用誤差表述測量準確的程度確實不夠嚴謹。但是用不確定度呢？您看，不確定度、準確度，用不確定度表述準確度？這個有點不靠譜而且易于混淆吧？
        3.關于誤差、真值的不可得。也就是您所的否定這兩個值的可知。這是肯定的啊，真值是理想情況下才能得出的，在現實中無論如何也無法得到。那么誤差呢？誤差=真值-測量值，測量值我們可以知道，但真值不知道，我們從哪得到誤差去啊？這是這兩個量的固有規律所導致的必然現象啊。
        4..“本導則的重點是測量結果及其評定的不確定度，而不是不可知量‘真’值和誤差。…本導則實際上要將不確定度和不可知量‘真’值和誤差即通常要混淆的術語區分開。”——E.5.1
       “事實上，本導則的使用方法的重點是放在量的觀測的（或估計的）值和該量值的觀測到的（或估計的）變動性，完全不必提及任何誤差。”——E5.4，GUM是意圖建立一個有別于誤差論的、繞過真值和誤差的爭論，只是對觀測值和觀測值的分布進行研究。雖然GUM對待真值和誤差有些粗暴，但是其意義應該是指GUM論述的是另外一個測量的體系，并不去討論真值和誤差。
        5.在準確度定性不定量的理解上，我支持您。測量準確的程度肯定可以定量的。

基礎知識，得認真讀讀。謝謝