測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識
本篇介紹測量誤差估計、實驗數(shù)據(jù)處理和實驗結(jié)果的表示等問題。所介紹的都是初步知識，這些知識不僅在每一個物理實驗中都要用到，而且是今后從事科學(xué)實驗必須了解和掌握的。
一、測量及測量誤差
測量是一種“比較”的過程，就是把待測量和體現(xiàn)計量單位的標準量作比較。物理實驗是以測量為基礎(chǔ)的。研究物理現(xiàn)象、了解物質(zhì)特性、驗證物理原理都要進行測量。測量分直接測量和間接測量兩類。用量具或儀表直接讀出測量值的，稱為直接測量，相應(yīng)的物理量稱為直接測得量。例如用米尺測物體的長度，用天平和砝碼測物體的質(zhì)量，用電流計測線路中的電流，都是直接測量。間接測量指利用直接測量的量與被測的量之間的已知函數(shù)關(guān)系，從而得到 該被測量值的測量。例如測物體密度時，先測出該物體的體積和質(zhì)量，再利用公式算出物體的密度。
實踐證明，測量結(jié)果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實驗和測量的過程中。因為任何測量儀器、測量方法、測量環(huán)境、測量者的觀察力等等都不能做到絕對嚴密，這些就使測量不可避免地伴隨有誤差產(chǎn)生。因此分析測量中可能產(chǎn)生的各種誤差，盡可能消除其影響，并對測量結(jié)果中未能消除的誤差作出估計，就是物理實驗和許多科學(xué)實驗中必不可少的工作。測量誤差就是測量結(jié)果與待測量的客觀真值之差，我們稱之為絕對誤差。評價一個測量結(jié)果的準確程度不僅看誤差的絕對大小，還要看被測量本身的大小。于是可定義出相對誤差的概念，即相對誤差E=絕對誤差/待測量的客觀真值(用百分數(shù)表示)。
二、有效數(shù)字及其表示
在實驗中我們所測的被測量都是含有誤差的數(shù)值，對這些數(shù)值不能任意取舍，應(yīng)反映出測量值的準確度。所以在記錄數(shù)據(jù)、計算以及書寫測量結(jié)果時，究竟應(yīng)寫出幾位數(shù)字，有嚴格的要求，要根據(jù)測量誤差或?qū)嶒灲Y(jié)果的不確定度來定。例如用300mm長的毫米分度鋼尺(實驗中給出儀器誤差0.3mm)測量某物體的長度，正確的讀法是除了確切地讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)之外，還應(yīng)估計一位，即讀到 mm。比如，測出某物的長度是15.2mm，這表明15是確切數(shù)字，而最后的2是估計數(shù)字。值得注意的是在讀取整刻度值時往往只讀出了整數(shù)值，而忘記讀估計的那位“0”。比如，用鋼尺測得的物體長度正好是15mm整，應(yīng)該記錄15.0mm，不應(yīng)寫成15mm。又如根據(jù)長度和直徑的測量值用計算器算出圓柱體體積為V=6158.3201mm3，Δv=±4mm3。由不確定度為4mm3可以看出，第四位數(shù)字8已經(jīng)是不精確的，它后面的四位數(shù)字3201沒有意義。因而圓柱體體積的間接測量值應(yīng)寫作V=6158±4mm3。6158這四位數(shù)字前面的三位是準確數(shù)字，后面一位是存疑數(shù)字。準確數(shù)字和存疑數(shù)字的全體稱為有效數(shù)字。上例中15.2mm為三位有效數(shù)字，6158mm3為四位有效數(shù)字。
有效數(shù)字位數(shù)的多少，直接反映實驗測量的準確度。有效數(shù)字位數(shù)越多，測量的準確度就越高。例如，用不同精度的量具測量同一物體的厚d時，用鋼尺測量d=6.2mm，儀器誤差0.3mm，
用50分度游標卡尺測量d=6.36mm， 儀器誤差0.02mm，
用螺旋測微計測量d=6.347mm，儀器誤差0.004mm，
由此可見，有效數(shù)字多一位，相對誤差E差不多要小一個數(shù)量級。因此取幾位有效數(shù)字是件嚴肅的事，不能任意取舍。
寫有效數(shù)字時應(yīng)注意的要點：
1.有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點位置無關(guān)，單位的SI詞頭改變時，有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。例如，重力加速度980cm/s2，以“m/s2”表示時記為9.80m/s2，與記為9.8m/s2是不同的。前者有三位有效數(shù)字，而后者只有兩位。若寫為0.00980km/s2，則數(shù)值前面小數(shù)點定位所用的“0”不是有效數(shù)字，應(yīng)從非“0”的第一個數(shù)起，仍為三位有效數(shù)字。
2.為表示方便，特別是對較大或較小的數(shù)值，常用×10±n的形式(n為一正整數(shù))書寫，這樣可避免有效數(shù)字寫錯，也便于識別和記憶，這種表示方法叫科學(xué)記數(shù)法。用這種方法記數(shù)值時，通常在小數(shù)點前只寫一位數(shù)字，例如地球的平均半徑6371km可寫作6.371×106m，表明有四位有效數(shù)字。
3.表示測量值最后結(jié)果的有效數(shù)字尾數(shù)與不確定度的尾數(shù)一般要取齊。普通物理實驗中不確定度一般取一位至兩位就可以了。當不確定度的第一位數(shù)比較小時經(jīng)常取兩位。相對誤差一般取兩位數(shù)。在計算過程中，對中間運算結(jié)果適當多保留幾位，以免因過多截取帶來附加誤差。對π， 等值應(yīng)直接按計算器上的按鍵取用。
4.如果在實驗中沒有進行不確定度的估算，最后結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)的取法如下：一般來說，在連乘除的情況中它跟參與運算的各量中有效數(shù)字位數(shù)最少的大致相同；在代數(shù)和的情況中，則按參與加減的各量的末位數(shù)中數(shù)量級最大的那一位為結(jié)果的末位。
三、用作圖法處理實驗數(shù)據(jù)
某些實驗的觀測對象是互相關(guān)聯(lián)的兩個(或兩個以上)物理量之間的變化關(guān)系，實驗的任務(wù)就是尋求這些物理量互相依存的變化規(guī)律。例如，研究單擺周期和擺長的關(guān)系，研究金屬電阻隨溫度變化的關(guān)系，研究氣體壓強隨溫度變化的關(guān)系等等。這一類實驗中的觀測方法是控制某一個量(例如溫度)使之依次取不同的值，從而觀測另一個量所取的對應(yīng)值，得出一列x1， x2， …xn和另一列對應(yīng)的y1，y2，…，yn值。如果將這兩組數(shù)據(jù)記錄在合適的表格內(nèi)，便一目了然，這叫列表法。更形象地處理這類實驗數(shù)據(jù)常用作圖法，它能直觀地揭示出物理量之間的規(guī)律，粗略顯示對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。
為了使圖線能清楚地、定量地反映出物理形象的變化規(guī)律，并能準確地從圖線上確定物理量值或求出有關(guān)常數(shù)，在作圖時必須注意準確度要求，因此必須用坐標紙作圖。
作圖規(guī)則：
1.選擇合適的坐標分度值。坐標分度值的選取應(yīng)符合測量值的準確度，即應(yīng)能反映測量值的有效數(shù)字位數(shù)。一般以1或2毫米對應(yīng)于測量儀表的最小分度值或?qū)?yīng)于測量值的次末位數(shù)，即倒數(shù)第二位數(shù)。對應(yīng)比例的選擇應(yīng)便于讀數(shù)，不宜選成1∶1.5或1∶3，坐標范圍應(yīng)恰好包括全部測量值，并略有富裕。最小坐標值不必都從零開始，以便作出的圖線大體上能充滿全圖，布局美觀、合理。
2.標明坐標軸。以自變量(即實驗中可以準確控制的量，如溫度、時間)為橫坐標，以因變量為縱坐標。用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，在軸上注明物理量名稱、符號、單位(要加括號)，并按順序標出標尺整分格上的量值。
3.標實驗點。實驗點可用“+”、“○、? ”等符號標出。
4.連成圖線。因為每一個實驗點的誤差情況不一定相同，因此不應(yīng)強求曲線通過每一個實驗點而連成折線(儀表的校正曲線不在此例)。應(yīng)該按實驗點的總趨勢連成光滑的曲線，要做到圖線兩側(cè)的實驗點與圖線的距離最為接近且分布大體均勻。曲線正穿過實驗點時，可以在點處斷開。
5.寫明圖線特征。利用圖上的空白位置注明實驗條件和從圖線上得出的某些參數(shù)，如截距、斜率、極大極小值、拐點和漸近線等。有時需通過計算求某一特征量，圖上還須標出被選計算點的坐標及計算結(jié)果。
6.寫圖名。在圖紙下方或空白位置標出圖線的名稱以及某些必要的說明，要使圖線盡可能全面反映實驗的情況。最后寫上實驗者姓名、實驗日期，將圖紙與實驗報告訂在一起。
四、實驗數(shù)據(jù)的直線擬合
作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線確定常數(shù)時，這種誤差有時很明顯。為了克服這一缺點，在數(shù)理統(tǒng)計中研究了直線擬合問題(或稱一元線性回歸問題)，常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實驗數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過數(shù)學(xué)變換改寫為直線，例如對函數(shù) 取對數(shù)得 ， 與 的函數(shù)關(guān)系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。 |
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