測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識(shí)

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識(shí)
本篇介紹測(cè)量誤差估計(jì)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的表示等問(wèn)題。所介紹的都是初步知識(shí)，這些知識(shí)不僅在每一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中都要用到，而且是今后從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)必須了解和掌握的。
一、測(cè)量及測(cè)量誤差
測(cè)量是一種“比較”的過(guò)程，就是把待測(cè)量和體現(xiàn)計(jì)量單位的標(biāo)準(zhǔn)量作比較。物理實(shí)驗(yàn)是以測(cè)量為基礎(chǔ)的。研究物理現(xiàn)象、了解物質(zhì)特性、驗(yàn)證物理原理都要進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量分直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)深?lèi)。用量具或儀表直接讀出測(cè)量值的，稱(chēng)為直接測(cè)量，相應(yīng)的物理量稱(chēng)為直接測(cè)得量。例如用米尺測(cè)物體的長(zhǎng)度，用天平和砝碼測(cè)物體的質(zhì)量，用電流計(jì)測(cè)線路中的電流，都是直接測(cè)量。間接測(cè)量指利用直接測(cè)量的量與被測(cè)的量之間的已知函數(shù)關(guān)系，從而得到 該被測(cè)量值的測(cè)量。例如測(cè)物體密度時(shí)，先測(cè)出該物體的體積和質(zhì)量，再利用公式算出物體的密度。
實(shí)踐證明，測(cè)量結(jié)果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量的過(guò)程中。因?yàn)槿魏螠y(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量者的觀察力等等都不能做到絕對(duì)嚴(yán)密，這些就使測(cè)量不可避免地伴隨有誤差產(chǎn)生。因此分析測(cè)量中可能產(chǎn)生的各種誤差，盡可能消除其影響，并對(duì)測(cè)量結(jié)果中未能消除的誤差作出估計(jì)，就是物理實(shí)驗(yàn)和許多科學(xué)實(shí)驗(yàn)中必不可少的工作。測(cè)量誤差就是測(cè)量結(jié)果與待測(cè)量的客觀真值之差，我們稱(chēng)之為絕對(duì)誤差。評(píng)價(jià)一個(gè)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度不僅看誤差的絕對(duì)大小，還要看被測(cè)量本身的大小。于是可定義出相對(duì)誤差的概念，即相對(duì)誤差E=絕對(duì)誤差/待測(cè)量的客觀真值(用百分?jǐn)?shù)表示)。
二、有效數(shù)字及其表示
在實(shí)驗(yàn)中我們所測(cè)的被測(cè)量都是含有誤差的數(shù)值，對(duì)這些數(shù)值不能任意取舍，應(yīng)反映出測(cè)量值的準(zhǔn)確度。所以在記錄數(shù)據(jù)、計(jì)算以及書(shū)寫(xiě)測(cè)量結(jié)果時(shí)，究竟應(yīng)寫(xiě)出幾位數(shù)字，有嚴(yán)格的要求，要根據(jù)測(cè)量誤差或?qū)嶒?yàn)結(jié)果的不確定度來(lái)定。例如用300mm長(zhǎng)的毫米分度鋼尺(實(shí)驗(yàn)中給出儀器誤差0.3mm)測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，正確的讀法是除了確切地讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)之外，還應(yīng)估計(jì)一位，即讀到 mm。比如，測(cè)出某物的長(zhǎng)度是15.2mm，這表明15是確切數(shù)字，而最后的2是估計(jì)數(shù)字。值得注意的是在讀取整刻度值時(shí)往往只讀出了整數(shù)值，而忘記讀估計(jì)的那位“0”。比如，用鋼尺測(cè)得的物體長(zhǎng)度正好是15mm整，應(yīng)該記錄15.0mm，不應(yīng)寫(xiě)成15mm。又如根據(jù)長(zhǎng)度和直徑的測(cè)量值用計(jì)算器算出圓柱體體積為V=6158.3201mm3，Δv=±4mm3。由不確定度為4mm3可以看出，第四位數(shù)字8已經(jīng)是不精確的，它后面的四位數(shù)字3201沒(méi)有意義。因而圓柱體體積的間接測(cè)量值應(yīng)寫(xiě)作V=6158±4mm3。6158這四位數(shù)字前面的三位是準(zhǔn)確數(shù)字，后面一位是存疑數(shù)字。準(zhǔn)確數(shù)字和存疑數(shù)字的全體稱(chēng)為有效數(shù)字。上例中15.2mm為三位有效數(shù)字，6158mm3為四位有效數(shù)字。
有效數(shù)字位數(shù)的多少，直接反映實(shí)驗(yàn)測(cè)量的準(zhǔn)確度。有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量的準(zhǔn)確度就越高。例如，用不同精度的量具測(cè)量同一物體的厚d時(shí)，用鋼尺測(cè)量d=6.2mm，儀器誤差0.3mm， 
用50分度游標(biāo)卡尺測(cè)量d=6.36mm， 儀器誤差0.02mm，  
用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量d=6.347mm，儀器誤差0.004mm， 
由此可見(jiàn)，有效數(shù)字多一位，相對(duì)誤差E差不多要小一個(gè)數(shù)量級(jí)。因此取幾位有效數(shù)字是件嚴(yán)肅的事，不能任意取舍。
寫(xiě)有效數(shù)字時(shí)應(yīng)注意的要點(diǎn)：
1.有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，單位的SI詞頭改變時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生變化。例如，重力加速度980cm/s2，以“m/s2”表示時(shí)記為9.80m/s2，與記為9.8m/s2是不同的。前者有三位有效數(shù)字，而后者只有兩位。若寫(xiě)為0.00980km/s2，則數(shù)值前面小數(shù)點(diǎn)定位所用的“0”不是有效數(shù)字，應(yīng)從非“0”的第一個(gè)數(shù)起，仍為三位有效數(shù)字。
2.為表示方便，特別是對(duì)較大或較小的數(shù)值，常用×10±n的形式(n為一正整數(shù))書(shū)寫(xiě)，這樣可避免有效數(shù)字寫(xiě)錯(cuò)，也便于識(shí)別和記憶，這種表示方法叫科學(xué)記數(shù)法。用這種方法記數(shù)值時(shí)，通常在小數(shù)點(diǎn)前只寫(xiě)一位數(shù)字，例如地球的平均半徑6371km可寫(xiě)作6.371×106m，表明有四位有效數(shù)字。
3.表示測(cè)量值最后結(jié)果的有效數(shù)字尾數(shù)與不確定度的尾數(shù)一般要取齊。普通物理實(shí)驗(yàn)中不確定度一般取一位至兩位就可以了。當(dāng)不確定度的第一位數(shù)比較小時(shí)經(jīng)常取兩位。相對(duì)誤差一般取兩位數(shù)。在計(jì)算過(guò)程中，對(duì)中間運(yùn)算結(jié)果適當(dāng)多保留幾位，以免因過(guò)多截取帶來(lái)附加誤差。對(duì)π， 等值應(yīng)直接按計(jì)算器上的按鍵取用。
4.如果在實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有進(jìn)行不確定度的估算，最后結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)的取法如下：一般來(lái)說(shuō)，在連乘除的情況中它跟參與運(yùn)算的各量中有效數(shù)字位數(shù)最少的大致相同；在代數(shù)和的情況中，則按參與加減的各量的末位數(shù)中數(shù)量級(jí)最大的那一位為結(jié)果的末位。
三、用作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)
某些實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)對(duì)象是互相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)(或兩個(gè)以上)物理量之間的變化關(guān)系，實(shí)驗(yàn)的任務(wù)就是尋求這些物理量互相依存的變化規(guī)律。例如，研究單擺周期和擺長(zhǎng)的關(guān)系，研究金屬電阻隨溫度變化的關(guān)系，研究氣體壓強(qiáng)隨溫度變化的關(guān)系等等。這一類(lèi)實(shí)驗(yàn)中的觀測(cè)方法是控制某一個(gè)量(例如溫度)使之依次取不同的值，從而觀測(cè)另一個(gè)量所取的對(duì)應(yīng)值，得出一列x1， x2， …xn和另一列對(duì)應(yīng)的y1，y2，…，yn值。如果將這兩組數(shù)據(jù)記錄在合適的表格內(nèi)，便一目了然，這叫列表法。更形象地處理這類(lèi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)常用作圖法，它能直觀地揭示出物理量之間的規(guī)律，粗略顯示對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。
為了使圖線能清楚地、定量地反映出物理形象的變化規(guī)律，并能準(zhǔn)確地從圖線上確定物理量值或求出有關(guān)常數(shù)，在作圖時(shí)必須注意準(zhǔn)確度要求，因此必須用坐標(biāo)紙作圖。
作圖規(guī)則：
1.選擇合適的坐標(biāo)分度值。坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)符合測(cè)量值的準(zhǔn)確度，即應(yīng)能反映測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)。一般以1或2毫米對(duì)應(yīng)于測(cè)量?jī)x表的最小分度值或?qū)?yīng)于測(cè)量值的次末位數(shù)，即倒數(shù)第二位數(shù)。對(duì)應(yīng)比例的選擇應(yīng)便于讀數(shù)，不宜選成1∶1.5或1∶3，坐標(biāo)范圍應(yīng)恰好包括全部測(cè)量值，并略有富裕。最小坐標(biāo)值不必都從零開(kāi)始，以便作出的圖線大體上能充滿(mǎn)全圖，布局美觀、合理。
2.標(biāo)明坐標(biāo)軸。以自變量(即實(shí)驗(yàn)中可以準(zhǔn)確控制的量，如溫度、時(shí)間)為橫坐標(biāo)，以因變量為縱坐標(biāo)。用粗實(shí)線在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)軸，在軸上注明物理量名稱(chēng)、符號(hào)、單位(要加括號(hào))，并按順序標(biāo)出標(biāo)尺整分格上的量值。
3.標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可用“+”、“○、? ”等符號(hào)標(biāo)出。
4.連成圖線。因?yàn)槊恳粋€(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的誤差情況不一定相同，因此不應(yīng)強(qiáng)求曲線通過(guò)每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)而連成折線(儀表的校正曲線不在此例)。應(yīng)該按實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的總趨勢(shì)連成光滑的曲線，要做到圖線兩側(cè)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與圖線的距離最為接近且分布大體均勻。曲線正穿過(guò)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)時(shí)，可以在點(diǎn)處斷開(kāi)。
5.寫(xiě)明圖線特征。利用圖上的空白位置注明實(shí)驗(yàn)條件和從圖線上得出的某些參數(shù)，如截距、斜率、極大極小值、拐點(diǎn)和漸近線等。有時(shí)需通過(guò)計(jì)算求某一特征量，圖上還須標(biāo)出被選計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)及計(jì)算結(jié)果。
6.寫(xiě)圖名。在圖紙下方或空白位置標(biāo)出圖線的名稱(chēng)以及某些必要的說(shuō)明，要使圖線盡可能全面反映實(shí)驗(yàn)的情況。最后寫(xiě)上實(shí)驗(yàn)者姓名、實(shí)驗(yàn)日期，將圖紙與實(shí)驗(yàn)報(bào)告訂在一起。
四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的直線擬合
作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個(gè)很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會(huì)引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線確定常數(shù)時(shí)，這種誤差有時(shí)很明顯。為了克服這一缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究了直線擬合問(wèn)題(或稱(chēng)一元線性回歸問(wèn)題)，常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換改寫(xiě)為直線，例如對(duì)函數(shù) 取對(duì)數(shù)得 ， 與 的函數(shù)關(guān)系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容寫(xiě)的好呀！最好舉例說(shuō)明一下就更好了。

寫(xiě)的好啊，能再介紹些數(shù)據(jù)處理、誤差建模的最新方法嗎？