討論：誤差與偏差的異同

                                討論：誤差與偏差的異同

                                                                                        史錦順

（一） 基本知識(shí)：貝塞爾公式的推導(dǎo)
《史法測(cè)量計(jì)量學(xué)》摘引


-
（二）求測(cè)量值的平均值與期望值的距離
       令：
                     d_i = M_i – E     （隨機(jī)誤差）                              （1）
                     ν_i = M_i – M_平   （殘差）                                   （2）  
       記D是測(cè)得值的平均值與期望值的距離
                      D = (1/N)∑d_i                                                    （3）
       將D平方再開(kāi)方（史法）。
                      D² = (1/N²)(∑d_i)²
                         = (1/N²) [∑(d_i)²+2∑d_id_j(i≠j) ]
       由于正態(tài)曲線（鐘形線）的對(duì)稱性，∑d_id_j≈0。有
                     D² = (1/N²) (∑(d_i)²)               （4）
       《史法測(cè)量計(jì)量學(xué)》已證明，如（一）之（7.8式）：
                    ∑d_i² = [N/(N-1)]∑ν_i²                         （5）                                                                             
       將（5）代入（4）式，有
                     D² = (1/N²) [N/(N-1)]∑ν_i²
                       = (1/N) [(∑ν_i² )/(N-1)]
                       = (1/N) σ²
       得到：
                     D = σ / √N(yùn)                                   （6）
       （6）是單值的正態(tài)分布曲線的結(jié)果。

       單值(M_i)的正態(tài)分布的鐘形曲線，有下列參量:
       1 測(cè)量值系列 M_i；
       2 測(cè)量值的平均值 M_平；
       3 標(biāo)準(zhǔn)偏差；
       4 平均值對(duì)期望值的偏離D = σ / √N(yùn)；
       5 以平均值為中心、以3σ為半寬的區(qū)間包含概率是99.73%.
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      討論題：基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量是隨機(jī)變量），測(cè)量結(jié)果的表達(dá)，應(yīng)有那些不同？
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請(qǐng)史老就基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量是隨機(jī)變量）先各列舉五個(gè)實(shí)例。

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【史錦順說(shuō)明】主文有重要修改，重發(fā)如下。
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                               討論：誤差與偏差的異同

                                                                 史錦順

（一） 基本知識(shí)：貝塞爾公式的推導(dǎo)
《史法測(cè)量計(jì)量學(xué)》摘引

（接上）

（二）求測(cè)量值的平均值與期望值的距離     
       令：
                     d_i = M_i – E     （隨機(jī)誤差）                （1）
                     ν_i = M_i – M_平   （殘差）                    （2）  
       記D是測(cè)得值的平均值與期望值的距離（統(tǒng)計(jì)值）
                      D =(1/N)∑d_i                              （3）
       將D平方再開(kāi)方（史法）。
                      D² = (1/N²)(∑di)²
                         = (1/N²) [∑(d_i)²+2∑d_id_j(i≠j) ]
       由于正態(tài)曲線（鐘形線）的對(duì)稱性，∑d_id_j≈0。有
                     D² = (1/N²) (∑(d_i)²)                     （4）
       《史法測(cè)量計(jì)量學(xué)》已證明，如（一）之（7.8式）：
                    ∑d_i² = [N/(N-1)]∑ν_i ² ]                    （5）                                                                                
       將（5）代入（4）式，有
                     D² = (1/N²) [N/(N-1)]∑ν_i²
                       = (1/N) [(∑ν_i² )/(N-1)]
                       = (1/N) σ²
       得到：
                     D = σ / √N(yùn)                                                              （6）
       （6）是單值的正態(tài)分布曲線的結(jié)果。

       單值(M )的正態(tài)分布的鐘形曲線，有下列參量:
       1 測(cè)量值系列 Mi；
       2 測(cè)量值的平均值 M_平；
       3 標(biāo)準(zhǔn)偏差 σ；
       4 量值平均值對(duì)期望值的偏離統(tǒng)計(jì)值 D = σ / √N(yùn)；
       5  σ是標(biāo)準(zhǔn)偏差。3σ才是偏差范圍。因此平均值對(duì)期望值的偏離范圍是3D；
       6  以平均值為中心、以3σ為半寬的區(qū)間包含測(cè)量值（Mi）概率是99.73%；
       7  以平均值為中心、以3σ/√N(yùn) 為半寬的區(qū)間包含期望值（E）的概率是99.73%.
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       討論題：基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量即講究的對(duì)象是隨機(jī)變量），測(cè)量結(jié)果的表達(dá)，應(yīng)有哪些不同？

【  由于正態(tài)曲線（鐘形線）的對(duì)稱性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范圍(項(xiàng)數(shù))有多大？  如果是"無(wú)窮大"，成立；如果"足夠大"（由此"足夠大"項(xiàng)數(shù)樣本值"統(tǒng)計(jì)"出的"概率密度"已非常接近那個(gè)"鐘形曲線"---如果不做"額外"要求，此"足夠大"項(xiàng)數(shù)不說(shuō)數(shù)千、也可能要大幾百！），大概成立； 如果項(xiàng)數(shù)只不過(guò)平常多見(jiàn)的數(shù)十項(xiàng)，若不要求"額外"的條件，是不能成立的！……這個(gè)"額外"條件就是:這些樣本值之間相互"獨(dú)立"---"互不相關(guān)"。……這些在"概率統(tǒng)計(jì)"理論中有明確論斷。

老師好,向老師學(xué)習(xí)中.已經(jīng)收藏,待慢慢消化.

史錦順 發(fā)表于 2019-5-11 15:19
（接上）

（二）求測(cè)量值的平均值與期望值的距離     

請(qǐng)史老就基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量是隨機(jī)變量）先各列舉五個(gè)實(shí)例很難嗎？這么久了沒(méi)有看到。
那好，不舉基礎(chǔ)測(cè)量的了，只舉五個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)量的實(shí)例。記得您說(shuō)計(jì)量（檢定/校準(zhǔn)）是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，舉例來(lái)看看。

都成 發(fā)表于 2019-5-12 19:28
請(qǐng)史老就基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量是隨機(jī)變量）先各列舉五個(gè)實(shí)例很難嗎？這么久了沒(méi)有 ...

常量和隨機(jī)變量的概念問(wèn)題還真需要議一議。

yeses 發(fā)表于 2019-5-14 07:38
常量和隨機(jī)變量的概念問(wèn)題還真需要議一議。

這是史老的獨(dú)家觀點(diǎn)，是需要好好議一議，我們一起來(lái)。可是五六天過(guò)去了連個(gè)實(shí)例都舉不出來(lái)，怎么議？

補(bǔ)充內(nèi)容 (2019-5-14 11:55):
到時(shí)也請(qǐng)“njlyx”先生來(lái)參議。

都成 發(fā)表于 2019-5-14 08:12
這是史老的獨(dú)家觀點(diǎn)，是需要好好議一議，我們一起來(lái)。可是五六天過(guò)去了連個(gè)實(shí)例都舉不出來(lái)，怎么議？

補(bǔ) ...

如果絕對(duì)"較真"，所有被測(cè)"量"都具有"隨機(jī)"散布在一定范圍內(nèi)的無(wú)窮多個(gè)"量值"，即都是所謂"隨機(jī)量"。

如果被測(cè)"量"的"量值"散布范圍"小"到實(shí)用可以忽略不計(jì)，便成了具有"唯一量值"的所謂"常量"。

所謂"常量"與所謂"隨機(jī)量"的"測(cè)量"是有區(qū)別的--

對(duì)于"常量"，"測(cè)量"一次就能得到有用的"測(cè)量結(jié)果"；"測(cè)量"多次，可以得到"更好"的（"不確定度"更小的）"測(cè)量結(jié)果"；

對(duì)于"隨機(jī)量"，只"測(cè)量"一次的"測(cè)量結(jié)果"是沒(méi)有"用"的，必須"測(cè)量"足夠多次，才能得到有用的"測(cè)量結(jié)果"。

無(wú)論是"常量"，還是"隨機(jī)量"，都可基于多次"測(cè)量"而進(jìn)行"統(tǒng)計(jì)"。……不贊成史先生的"基礎(chǔ)測(cè)量"/"統(tǒng)計(jì)測(cè)量"分類。

njlyx 發(fā)表于 2019-5-14 22:09
如果絕對(duì)"較真"，所有被測(cè)"量"都具有"隨機(jī)"散布在一定范圍內(nèi)的無(wú)窮多個(gè)"量值"，即都是所謂"隨機(jī)量"。

...

您說(shuō)的很對(duì)。
關(guān)于史先生的"基礎(chǔ)測(cè)量"/"統(tǒng)計(jì)測(cè)量"分類我也不同意，三年前就討論過(guò)，他始終堅(jiān)持，這是他的相關(guān)理論的基礎(chǔ)，至關(guān)重要。這里他又提出了“基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量即講究的對(duì)象是隨機(jī)變量）”的討論，我先讓他舉幾個(gè)實(shí)例，可不知什么原因遲遲舉不出來(lái)，要是很難就算了。

都成 發(fā)表于 2019-5-16 11:54
您說(shuō)的很對(duì)。
關(guān)于史先生的"基礎(chǔ)測(cè)量"/"統(tǒng)計(jì)測(cè)量"分類我也不同意，三年前就討論過(guò)，他始終堅(jiān)持，這是他的 ...

      如果不計(jì)較“基礎(chǔ)測(cè)量（被測(cè)量是常量）與統(tǒng)計(jì)測(cè)量（被測(cè)量即講究的對(duì)象是隨機(jī)變量）”（未能理解“被測(cè)量即講究的對(duì)象是隨機(jī)變量”的確切含義？）的“分類”必要性與命名適宜性，討論【 被測(cè)量是“常量”與被測(cè)量為“隨機(jī)變量”時(shí)，測(cè)量結(jié)果的表達(dá)，應(yīng)有哪些不同？】，我認(rèn)為是有意義的！

在經(jīng)典“測(cè)量誤差理論”體系中——

    (1.1)   被測(cè)量X是“常量”時(shí)，“測(cè)量結(jié)果”是一個(gè)“測(cè)得值”D，附加“可能誤差范圍”E，即 X=D±E

         (1.1.1)  如果只測(cè)量1次，“測(cè)量結(jié)果”為  X=D1 ± Ey，其中，D1 為這1次測(cè)量的“示值”，Ey為所用測(cè)量?jī)x器的示值誤差“極值”；

         (1.1.2)  如果“重復(fù)”測(cè)量n次，“測(cè)量結(jié)果”為  X=Da ± Ea，其中，Da=(D1+D2+...+Dn)/n，為這n次測(cè)量的“示值”的平均值；Ea=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys為所用測(cè)量?jī)x器的示值誤差“極值”Ey的“系統(tǒng)分量”，Eyr為所用測(cè)量?jī)x器的示值誤差“極值”Ey的“隨機(jī)分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ea≤Ey。

    (1.2)   如被測(cè)量X是“隨機(jī)變量”，“測(cè)量結(jié)果”至少要有兩個(gè)“測(cè)得值”： “平均值” Xa 的“測(cè)得值”d、“標(biāo)準(zhǔn)偏差”σ的“測(cè)得值”s，并附加“它們的可能誤差范圍”Ed、Es，即
                Xa =d±Ed ； σ=s ± E s。
        這樣的“測(cè)量結(jié)果”必須要多次“重復(fù)”測(cè)量才能得到！.....如果“重復(fù)”測(cè)量n次，則常取 d =(D1+D2+...+Dn)/n，為這n次測(cè)量的“示值”的平均值；Ed=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys為所用測(cè)量?jī)x器示值誤差“極值”Ey的“系統(tǒng)分量”，Eyr為所用測(cè)量?jī)x器示值誤差“極值”Ey的“隨機(jī)分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ed≤Ey；  s=√｛[（D1-d）^2+（D2-d）^2+...+（Dn-d）^2]/(n-1)}——即n次測(cè)量“示值”的所謂“實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差”；  E s通常忽略不給出。

在概率論中，隨機(jī)變量?jī)H僅指其值存在于一個(gè)概率區(qū)間的未知量，其所有可能取值構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)分布，由數(shù)學(xué)期望和方差二個(gè)參數(shù)來(lái)表達(dá)（當(dāng)然還有概率密度函數(shù)）。當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的方差小到為0的時(shí)候，它就成了常量。常量是已知量，具有確切的數(shù)值。

被測(cè)量因?yàn)檎嬷滴粗远际请S機(jī)變量，即使其值客觀上處于恒定狀態(tài)。

隨機(jī)變量并不是僅指其數(shù)值客觀上處于隨時(shí)間隨機(jī)變化狀態(tài)。

將"客觀存在"與人類"認(rèn)知"有意攪在一起可能引起很多混亂。……即便不能"絕對(duì)"分清（世上少有"絕對(duì)"正確的事），也應(yīng)適當(dāng)?shù)?quot;實(shí)用"區(qū)分。……所謂"常量"，還是宜以"其客觀取值實(shí)用近似唯一"為"準(zhǔn)"，不論人們是否已經(jīng)"知道"了它的"值"。   "不確定量"與"隨機(jī)量"是可以有所區(qū)分的，前者著眼人們對(duì)它的"認(rèn)識(shí)狀態(tài)"，后者表達(dá)它的"客觀取值情況"。   雖然"絕對(duì)"的"常量"并不存在，但"實(shí)用"常量不會(huì)因?yàn)閺埲€不知道它的"值"而改"性"（在張三眼里，它還是個(gè)"不確定量"--不知道它的"值"究竟是多少？ 但張三"知道"它的"值"只會(huì)是3、4中的某一個(gè)，不會(huì)早3暮4。）

A知道C的成績(jī)是90分，90分就是常量。
B不知道C的成績(jī)，C的成績(jī)對(duì)于B來(lái)說(shuō)就是隨機(jī)變量，可用C所在班級(jí)的全部成績(jī)統(tǒng)計(jì)出一個(gè)數(shù)學(xué)期望和方差來(lái)近似表達(dá)。

將"隨機(jī)量"的"樣本值"與"常量"混為一談了……

A知道C的成績(jī)是90分，"C的成績(jī)"對(duì)于A而言，是個(gè)"確定量"；B不知道C的成績(jī)，"C的成績(jī)"對(duì)于B來(lái)說(shuō)，就是個(gè)"不確定量"； 對(duì)于這個(gè)"不確定量"，B如果知道"C所在班級(jí)的全部成績(jī)的統(tǒng)計(jì)特征值：數(shù)學(xué)期望、方差、…“，可由此獲得"C的成績(jī)"這個(gè)"不確定量"的"概率取值范圍"，因?yàn)?quot;C的成績(jī)"是"所在班級(jí)成績(jī)"這個(gè)"隨機(jī)量（總體）"的一個(gè)"樣本"值。

一旦"評(píng)分"完成，"C的成績(jī)"就是一個(gè)"常量"了，無(wú)關(guān)A、B是否知道，它都是90分，不會(huì)變成其它分?jǐn)?shù)。除非要"重新評(píng)分"，它才可能會(huì)變成一個(gè)"隨機(jī)量"。

樣本值就是常量，90分說(shuō)破天都是常量。

概率本身就是主觀的東西，A知道了90分，概率就是100%；B不知道實(shí)際分?jǐn)?shù)，才有概率問(wèn)題。

用大量已知事件（100%概率）做統(tǒng)計(jì)，去評(píng)價(jià)一個(gè)未知事件的概率，這就是概率論的思維方式。

njlyx 發(fā)表于 2019-5-17 16:03
一旦"評(píng)分"完成，"C的成績(jī)"就是一個(gè)"常量"了，無(wú)關(guān)A、B是否知道，它都是90分，不會(huì)變成其它分?jǐn)?shù)。除非要"重 ...

照這個(gè)邏輯，真值（測(cè)量實(shí)施時(shí)刻的真值）是常量。

但測(cè)量完成后測(cè)量結(jié)果也是常量，這樣誤差（最終唯一結(jié)果與真值之差）也是常量了。

njlyx 發(fā)表于 2019-5-17 15:53
A知道C的成績(jī)是90分，"C的成績(jī)"對(duì)于A而言，是個(gè)"確定量"；B不知道C的成績(jī)，"C的成績(jī)"對(duì)于B來(lái)說(shuō)，就是個(gè)"不 ...

掌握的資料不同，給出的測(cè)量結(jié)果和不確定度評(píng)價(jià)就不同。

A：測(cè)量結(jié)果90分，不確定度0分。
B：用全班成績(jī)的平均作為近似測(cè)量結(jié)果，用方差作為不確定度評(píng)價(jià)。

樣本值都是常量，不可能用不確定的未知量作為統(tǒng)計(jì)樣本。就是說(shuō)，過(guò)去把統(tǒng)計(jì)出的方差賦予每個(gè)常量嚴(yán)格說(shuō)是錯(cuò)誤的，這種做法實(shí)際是重新把每個(gè)樣本看作是未知不確定，但最后導(dǎo)致了一個(gè)悖論：最終測(cè)量結(jié)果---一個(gè)確定的常數(shù)---其方差不是0---還得把這個(gè)常數(shù)也重新看作是未知不確定---不然哪來(lái)不確定度？測(cè)量理論的邏輯糾纏不清了，這就是很多人難以理解不確定度概念的原因！

yeses 發(fā)表于 2019-5-18 07:04
照這個(gè)邏輯，真值（測(cè)量實(shí)施時(shí)刻的真值）是常量。

但測(cè)量完成后測(cè)量結(jié)果也是常量，這樣誤差（最終唯一結(jié) ...

"常量"是基于"量"的"客觀屬性"定義的，現(xiàn)行的"（測(cè)量）不確定度"是對(duì)"量"的"客觀屬性"和人類"認(rèn)識(shí)能力"的"綜合"指標(biāo)。………"常量"有"(測(cè)量)不確定度"很正常---人類由于"認(rèn)識(shí)能力/測(cè)量能力"的局限，或不知道這"常量"的具體值是多少？或得到它的一個(gè)"測(cè)得值"時(shí)也不知道相應(yīng)"測(cè)量誤差"的具體值是多少？

      當(dāng)被測(cè)量實(shí)用近似為"常量"時(shí)，什么"量"可能是"隨機(jī)量"呢？-----"測(cè)量系統(tǒng)"的"測(cè)量誤差"可能是"隨機(jī)量"，多次"重復(fù)測(cè)量"時(shí)其"取值"（樣本值）可能是"隨機(jī)變化"的，但人們不知道這些"樣本值"究竟具體是多少？ 相應(yīng)的 "測(cè)得值"也可能是個(gè)"隨機(jī)量"，多次"重復(fù)測(cè)量"時(shí)它"取值"（樣本值）也是"隨機(jī)變化"的，人們可以得到一系列"參差不齊"的具體"樣本值"。由這兩個(gè)"隨機(jī)量"的"（測(cè)量）不確定度"可以"合成"被測(cè)"常量"的"測(cè)量不確定度"（此時(shí)，"測(cè)得值"這個(gè)"隨機(jī)量"也"測(cè)量系統(tǒng)"的"測(cè)量誤差"這個(gè)"隨機(jī)量"的"相關(guān)系數(shù)"應(yīng)該大于0！）---這是"測(cè)量系統(tǒng)"的"測(cè)量誤差"有"隨機(jī)誤差分量"的情況！

       如果"測(cè)量系統(tǒng)"的"測(cè)量誤差"沒(méi)有"隨機(jī)誤差分量"，只有"系統(tǒng)誤差"分量，那么，當(dāng)被測(cè)量實(shí)用近似為"常量"時(shí)，便不會(huì)出現(xiàn)"隨機(jī)量"了！……只有兩個(gè)"不知道確切值"的"常量"---"被測(cè)量"、"測(cè)量誤差"，和一個(gè)知道確切值的"常量"---"測(cè)得值"。

njlyx 發(fā)表于 2019-5-18 11:50
"常量"是基于"量"的"客觀屬性"定義的，現(xiàn)行的"（測(cè)量）不確定度"是對(duì)"量"的"客觀屬性"和人類"認(rèn)識(shí)能力"的 ...

閱卷完成后90分的客觀屬性是常量，但B因?yàn)椴恢缹W(xué)生的姓名而用全班的期望和方差作為其成績(jī)的估計(jì)值，我們不能說(shuō)他的做法不正確吧？---那么，豈不是常量變成了隨機(jī)變量？

yeses 發(fā)表于 2019-5-18 12:01
閱卷完成后90分的客觀屬性是常量，但B因?yàn)椴恢缹W(xué)生的姓名而用全班的期望和方差作為其成績(jī)的估計(jì)值，我 ...

你這是將兩個(gè)實(shí)際不同的"量"混為一談了： "C同學(xué)的成績(jī)"與"C同學(xué)所在班級(jí)任一個(gè)同學(xué)的成績(jī)"是兩個(gè)不同的"量"，前者只有一個(gè)可能的"取值"，是"常量"，后者有若干可能的"取值"，可算是所謂"隨機(jī)變量"。…………你為了"化解"【"常量"沒(méi)有"散布"，"方差"為0，怎么會(huì)有"測(cè)量不確定度"？】詰問(wèn)，將"常量"與"確知其值的量"劃了等號(hào)，會(huì)干擾人們的若干"常識(shí)"，不妥。

"常量"的"（測(cè)量）不確定度"源于"測(cè)量能力"的"不足"---包括"測(cè)量?jī)x器"本身性能"參量"的"隨機(jī)性"（是些"隨機(jī)量"）以及 "校準(zhǔn)能力"的"不足"。

　　常量也好，隨機(jī)量也好，都是被測(cè)量，“保持不變”和“在一定范圍內(nèi)變化著”是兩種被測(cè)量的基本特性。
　　但我認(rèn)為被測(cè)“常量”應(yīng)該是特定的“一個(gè)”量，“一個(gè)”量的量值在規(guī)定的時(shí)空條件下，是客觀存在且保持不變的恒定的量，測(cè)量結(jié)果與這個(gè)客觀存在保持不變的量的“真值”之差就叫做“誤差”，這個(gè)誤差以固定不變的“系統(tǒng)誤差”形式存在著。因此，對(duì)于保持不變的“一個(gè)常量”的測(cè)量結(jié)果應(yīng)該給出測(cè)得值（誤差）和依據(jù)獲得測(cè)得值的全部信息評(píng)估得到的測(cè)量不確定度。被測(cè)常量的例子例如一個(gè)球形工件的直徑，一個(gè)回路的電壓，一種材質(zhì)的抗拉強(qiáng)度，某軸外圓的圓度誤差等都屬于單一被測(cè)測(cè)量的測(cè)量問(wèn)題。
　　被測(cè)“隨機(jī)量”則是指具有相似特性的“一堆”量。在規(guī)定的時(shí)空條件下，被測(cè)的這“一堆”量，因每個(gè)樣本的個(gè)性差異而使測(cè)量結(jié)果在一定的范圍內(nèi)“隨機(jī)”變化著，人們可以求得“一堆”量的平均值和實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。平均值代表了一堆量的“期望”，是“眾望所歸”，但每個(gè)樣本量都或多或少偏離這個(gè)“期望”，在一定的“包含”概率下，偏離的區(qū)間半寬就是“隨機(jī)誤差”。人們只知道一堆量中有的偏大，有的偏小，但都不會(huì)逃出以這個(gè)半寬確定的區(qū)間范圍。因此，被測(cè)量為“一堆隨機(jī)量”時(shí)，我們給出的測(cè)量結(jié)果是算數(shù)平均值及其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。被測(cè)隨機(jī)量的例子例如某個(gè)國(guó)家人的壽命，某條線路乘客數(shù)量，某個(gè)城市的交通擁堵時(shí)間，某班級(jí)每個(gè)學(xué)生可能的考試成績(jī)等等，均為一堆被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果問(wèn)題。
　　至于史老師所講的“誤差”與“偏差”的異同問(wèn)題，我認(rèn)為已經(jīng)得到了大家共同認(rèn)可，誤差和偏差絕對(duì)值相等而符號(hào)相反，偏差其實(shí)與修正值具有相同的作用。需要提醒的是在幾何量計(jì)量中，設(shè)計(jì)人員提出的計(jì)量要求以公稱值（名義值）為參考對(duì)象，規(guī)定了上下兩個(gè)允許誤差值，即上下兩個(gè)極限，分別稱為上偏差和下偏差。