本帖最后由 史錦順 于 2019-11-13 17:43 編輯
計量的誤差分析
——《史法測量計量學(xué)》對計量誤差與合格性判別公式的嚴(yán)格推導(dǎo)
史錦順
引言
計量的誤差分析與合格性判別公式，是計量業(yè)務(wù)的基本知識，不能出錯。
不確定度體系給出的合格性判別公式，把對象的性能錯位地算在計量的手段上，是錯誤的。葉德培先生在（優(yōu)酷網(wǎng)）講課中指出：計量的不確定度U95中包含有被檢儀器的性能，于是，檢定百分之一的儀器時，萬分之一的標(biāo)準(zhǔn)降至百分之一的水平，這是錯誤的。我曾對此觀點(diǎn)評價說：“鏗鏘質(zhì)疑，振聾發(fā)聵；金玉之言，擲地有聲”。奇怪的是，在她為第二起草人的《JJF1094-2002》中卻用U95于合格性判別公式中。是明知故犯，還是無奈之舉？
在測量計量的理論上，中國人應(yīng)該挺直腰板，堅持真理，對錯誤規(guī)范《GUM》，要堅決斗爭。
堅持真理的基礎(chǔ)是認(rèn)識真理。弄明白“計量誤差”的基本道理，即使不確定度體系再猖狂，也就不會上當(dāng)受騙了。
1 測量方程與測量值函數(shù)
測量計量領(lǐng)域有三大場合：研制、計量與測量。研制場合設(shè)計儀器性能，分析儀器誤差，給出儀器誤差范圍的指標(biāo)值；計量場合依靠計量標(biāo)準(zhǔn)，測定儀器的誤差范圍，判斷儀器的合格性，計量中必須知道計量誤差，以選用夠格的計量標(biāo)準(zhǔn)，如此，計量才有權(quán)威性；測量場合，直接測量，可引用測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值，不需再分析；間接測量，要分析被測函數(shù)量的誤差范圍。三大場合，各有特點(diǎn)，但共同點(diǎn)是都要講究測量方程、測量值函數(shù)；要知道誤差量的特點(diǎn)，并體現(xiàn)誤差范圍的貫通性。在此基礎(chǔ)上，做各個場合的誤差分析與誤差合成。
測量依靠特定的物理機(jī)制。物理機(jī)制用物理公式表征。物理公式中的量，都是真值。測量的物理公式為
Y = f(X1，X2，……XN) (1)
函數(shù)Y是諸自變量Xi的函數(shù)。Xi是各種決定以及影響測量值Y的量。
測量的計值公式為：
Ym = f(X1m/o，X2m/o，……,XNm/o) （2）
Ym是對被測量的測量值。式中斜杠“/”表示“或”。m表示測量值，o表示標(biāo)稱值。m/o表示或者是測量值m，或者是標(biāo)稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.![]()
聯(lián)立（1）（2），二者相除，得比例關(guān)系的測量方程：
Ym / Y= f(X1m/o，X2m/o，……，XNm/o) / f(X1，X2，……XN) (3)
聯(lián)立（1）（2），二者相減，得差值關(guān)系的測量方程：
Ym- Y = f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) (4)
(3)、(4)都是測量方程，形式有別而本質(zhì)相同，依應(yīng)用方便而選用。
-
由（3），測量值函數(shù)為
Ym = [ f(X1m/o，X2m/o，……，XNm/o) / f(X1，X2，……XN) ] Y (5)
由（4），測量值函數(shù)為
Ym = f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) + Y (6)
-
2 測量儀器分析
2.1 測量儀器的測量方程
物理公式的值都是真值。這是測量計量學(xué)的根基。
測量儀器的研制場合，測量值函數(shù)Ym表成儀器的測量值M, 而Y就是被測量的真值Z。
測量儀器的物理公式為：
Z = f(X1，X2，……XN) (7)
測量儀器的計值公式為
M = f(X1m/o，X2m/o，……,XNm/o) （8）
自變量Xi包括：機(jī)內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)的量值、比較機(jī)構(gòu)的參數(shù)、各種相關(guān)機(jī)構(gòu)的參數(shù)；輸入輸出處理方式的作用、計算與計值方式的作用，以及儀器的正常工作條件下的環(huán)境因素影響等。人的因素（如正常人的眼睛識別力），測量方法的因素，都必須包含在其中。正常工作條件下的各種外界誤差因素（通過儀器的機(jī)理而起作用），必須包括在儀器誤差之內(nèi)，這是儀器研制中誤差分析必須遵守的規(guī)則。
測量儀器的測量方程為
M / Z= f(X1m/o，X2m/o，……，XNm/o) / f(X1，X2，……XN) (9)
M- Z= f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) (10)
2.2 測量儀器的誤差概念
測量得到的最基本的元素是測量值。測量值與被測量的真值的差距稱誤差。誤差是個泛指概念，誤差包括誤差元與誤差范圍兩個概念。
定義1 誤差元
誤差元等于測量值減真值。
定義2 誤差范圍
誤差元的絕對值的一定概率（通常取3σ，概率99%）意義上的最大可能值。
誤差元是誤差理論的元素，是基礎(chǔ)概念，沒有不行，但只在誤差分析時用。誤差范圍是域的概念，誤差范圍由誤差元構(gòu)成。誤差范圍包容著可能的誤差元。誤差范圍是實(shí)用的功能單元，貫穿于研制、計量、測量以及各種實(shí)用場合。“誤差范圍”是誤差元絕對值的范圍的簡稱。誤差范圍是測得值區(qū)間的半寬，也是測量結(jié)果區(qū)間的半寬。
測量儀器誤差范圍的指標(biāo)值就是準(zhǔn)確度，又稱極限誤差、最大允許誤差、準(zhǔn)確度等級。歷史上，準(zhǔn)確度這個術(shù)語用得最廣，它從來都是定量的（我國計量法用的是定量的準(zhǔn)確度）。準(zhǔn)確度這個術(shù)語，概念明確，詞義清楚，廣泛通行，幾乎人人皆知。準(zhǔn)確度一詞，科學(xué)、通俗、簡明。不確定度體系污蔑說：準(zhǔn)確度是定性的，不能用數(shù)字表達(dá)。這是瞪著眼睛說瞎話，是現(xiàn)代版的指鹿為馬。這種話由美國NIST說出，經(jīng)國際計量委員會通過，由八個國際學(xué)術(shù)組織向全世界推廣，還明文列于國際規(guī)范中，以法規(guī)的形式強(qiáng)制推行。這是顛倒黑白的霸道作風(fēng)。科學(xué)講真理，反對霸道。測量計量界要高舉準(zhǔn)確度的旗幟！我國計量界的兩大名家，馬鳳鳴和錢鐘泰，他們都不理不確定度體系的昏話。馬鳳鳴在他主持起草的國家計量規(guī)范《JJF1180-2007》中，頻標(biāo)的指標(biāo)就稱“準(zhǔn)確度”；錢鐘泰率領(lǐng)潘必卿、童光球（二人都曾任國家計量院院長）宋明順（現(xiàn)任中國計量大學(xué)校長）所寫的長篇講座課程中，名稱的核心就是“準(zhǔn)確度”。
2.3 測量儀器的測量值函數(shù)與誤差范圍
測量儀器的研制者，必須給出全量程的測量值函數(shù)，建立測量值與被測量真值的對應(yīng)關(guān)系。
測量儀器（非單值量具），不可能只測量一個值，而是測量全量程內(nèi)的任何一個被測量量值。這就必須給出全量程或可用區(qū)域上的測量值函數(shù)。
研制的賦值過程，就是由真值Z而確定測量值M。
由（10）式，誤差元函數(shù)為
M – Z = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN) （11）
誤差元的絕對值的最大可能值為
│M – Z│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN)│max （12）
這個“誤差元絕對值的最大可能值”就是誤差范圍，記（12）式右端為R(恒正), 有
│M– Z│max= R （13）
去掉最大值符號，有
│M – Z│ ≤ R （14）
解絕對值關(guān)系式（14）
當(dāng)M＞Z時，有
M ≤ Z+R （15）
當(dāng)M＜Z時，有
M ≥ Z-R （16）
綜合（15）式、（16）式，有
Z - R ≤ M ≤ Z+R （17）
（17）式簡記為
M = Z±R （18）
（18）式由（12）式推得，（18）與（12）式等效。因此，測量值公式（18）是測量值函數(shù)式的簡化表達(dá)。
3 測量結(jié)果是真值函數(shù)的簡化表達(dá)，測量結(jié)果包含真值
測量者通過測量得到測得值。由所用測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值，得知此次測量的誤差范圍值。測得值加減誤差范圍是測量結(jié)果。測量者得到測量結(jié)果，測量結(jié)果包含真值，于是測量者就得到了關(guān)于被測量真值的完整信息。只要誤差范圍滿足要求，就達(dá)到了測量的目的。
測量結(jié)果包含真值，這是測量理論與實(shí)踐的真諦，說明如下。
第一，測量儀器生產(chǎn)廠，給出誤差范圍指標(biāo)為R儀（準(zhǔn)確度），承諾是：
誤差元ri = Mi―Zi。 在i點(diǎn)，Ri是ri的絕對值的最大可能值，記為R。廠家給出的誤差范圍指標(biāo)R儀，是保證：
R ≤ R儀 （19）
第二，計量檢定就是抽樣證明（19）式成立。
因此，不論在量程內(nèi)哪點(diǎn)上的那次測量，都有：
│ri│≤ R儀
也就是
│M―Z│≤ R儀 （20）
解絕對值關(guān)系式（20）。
當(dāng)M大于Z時
M―Z ≤ R儀
Z ≥ M―R儀 （21）
當(dāng)M小于Z時
Z―M ≤ R儀
Z ≤ M + R儀 （22）
綜合（21）、（22），有
M―R儀 ≤ Z ≤ M + R儀 （23）
（23）式表明，被測量的真值Z在以測得值M為中心的、以誤差范圍R儀為半寬的區(qū)間中。
（23）式簡化表達(dá)為
Z = M±R儀 （24）
（24）式稱為測量結(jié)果。
測量結(jié)果的物理意義：被測量的真值的最佳表征值是測得值M。被測量的真值可能大些，但不會大于M+R儀，被測量的真值可能小些，但不會小于M―R儀。
4 計量的誤差與合格性判別
4.1 差分法求計量誤差
儀器廠生產(chǎn)測量儀器，給出了儀器的誤差范圍指標(biāo)值。用戶依據(jù)自己工作任務(wù)的需要，選用誤差范圍夠格的測量儀器。在儀器正常工作的條件下，用儀器測量被測量，得到測量結(jié)果為：
Z = M±R儀 （24）
計量的任務(wù)就是公證儀器的實(shí)際誤差范圍，不大于測量儀器的誤差范圍的指標(biāo)值。由于計量場合有夠格的計量標(biāo)準(zhǔn)，可以測定儀器的誤差范圍實(shí)際值。
測量儀器的計量方法是用被檢儀器測量計量標(biāo)準(zhǔn)。
計量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值是B標(biāo)，計量標(biāo)準(zhǔn)的真值是Z標(biāo)。用被檢儀器測量計量標(biāo)準(zhǔn)，所得測量值為M。
誤差元定義為測量值減真值。因此，根據(jù)（10）式，被檢儀器的誤差元為：
rz = M - Z標(biāo)
= [f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN)+Z標(biāo)]- Z標(biāo)
= f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) （25）
rz是以真值為參考的誤差元，稱為“真誤差元”。
計量者得知的不是“真誤差元”，而是“視在誤差元”，就是以計量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考的視在誤差元r視在：
r視在 = M - B標(biāo)
= [ f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN)+ Z標(biāo) ]- B標(biāo) （26）
計量的誤差元就是“視在誤差元”與“真誤差元”之差
r計= r視在 - rz
=[ f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) + Z標(biāo) - B標(biāo)]
-[ f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) ]
= Z標(biāo) - B標(biāo) （27）
計量的誤差范圍是
│r計│max= │Z標(biāo)-B標(biāo)│max
R計 = R標(biāo) （28）
以上推導(dǎo)中，關(guān)鍵點(diǎn)是：測量值M是儀器的物理公式?jīng)Q定的客觀量，它由計量標(biāo)準(zhǔn)的真值Z標(biāo)以及儀器的物理機(jī)制決定。它是客觀的、唯一的，不存在由標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值決定的另一個測量值。njlyx先生曾指出：M是常值。這是真知灼見。
以上推導(dǎo)，也可以按下述方式。如（25），真誤差為：
r真 = f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) （25+）
而視在誤差為：
r視在 = M - B標(biāo)
= [ f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN)+ Z標(biāo) ]- B標(biāo) （26+）
將（26+）式中的函數(shù)差部分依（25+）式的關(guān)系，用rz代換，有：
r視在 = [ f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN)+ Z標(biāo) ] - B標(biāo)
= r真 + Z標(biāo) - B標(biāo)
得到
r計 = r視在 - r真 = Z標(biāo) - B標(biāo) （27+）
式（27+）與式（27）相同。
R標(biāo)是計量標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍值。經(jīng)過上級計量的合格的計量標(biāo)準(zhǔn)，誤差范圍的最大可能值就是計量標(biāo)準(zhǔn)的性能指標(biāo)值。這是本級計量者知道的。
計量的誤差，取決于計量標(biāo)準(zhǔn)。計量的誤差，與被檢儀器的性能無關(guān)。
4.2 微分法求計量誤差
分析計量的誤差是分析計量手段的影響。如果計量中的比較標(biāo)準(zhǔn)是真值，那就沒有計量誤差。測量值的變化量，僅僅由計量手段引入的部分，才是計量誤差。
由（10）式知：計量場合儀器的測量值函數(shù)：
M = f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN) + Z標(biāo) (29)
令
M儀自身= f(X1m/o，,X2m/o，……，XNm/o) - f(X1，X2，……XN)
則計量場合儀器的測量值函數(shù)簡化為：
M = M儀自身 + Z標(biāo) （30）
測得值M中由儀器本身的各種因素的作用而形成的M儀自身，是被檢儀器自身的事，是計量時的對象，不是計量的手段。
求計量的誤差，微分的自變量是手段量，就是求“測量值M對計量手段量的微分”。由于著眼點(diǎn)是手段量，計量時，真值Z標(biāo)之值對標(biāo)稱值B標(biāo)（定義值的一種形式）有變化，Z標(biāo)是變量，而M儀自身值是對象問題，相對手段而言，是常量。即測得值M因手段問題而產(chǎn)生的改變量與被檢儀器無關(guān)，而僅僅與標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)際值改變量有關(guān)。（這是按《JJF1180-2007》的說法，計量標(biāo)準(zhǔn)用統(tǒng)計測量的概念；經(jīng)典測量學(xué)視真值為常量，而把標(biāo)稱值視為可改變量。二者差一個正負(fù)號，因誤差范圍取絕對值，兩種理論結(jié)果等效。不確定度體系混淆對象與手段，那是另一回事。）
對（30）微分，注意到M儀自身是常量，必然有
dM = dZ標(biāo)
ΔM=ΔZ標(biāo)
│ΔM│max= │ΔZ標(biāo)│max
R計 = R標(biāo) （31）
式（31）與式（28）相同。再說一遍：R標(biāo)是計量標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍值。計量的誤差，取決于計量標(biāo)準(zhǔn)。計量的誤差，與被檢儀器的性能無關(guān)。
4.3 合格性判別公式
被檢儀器的誤差范圍指標(biāo)是R儀/指標(biāo)，又記為MPEV。若
R ≤ R儀/指標(biāo)
則被檢測量儀器合格。
R是被檢儀器的誤差范圍，參考值是被測量的真值。而實(shí)測的儀器的誤差范圍，是以標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考值的。計量中實(shí)測得到的是被檢儀器的誤差的測量值，規(guī)范中記為|Δ|，準(zhǔn)確地說應(yīng)為|Δ|max，誤差量的測量結(jié)果是：
R = |Δ|max±R計
= |Δ|max±R標(biāo) （32）
判別合格性，必須用誤差的測量結(jié)果與儀器指標(biāo)比。
（A）由于計量誤差的存在，R的最大可能值是|Δ|max+R標(biāo)。若此值合格，因儀器誤差絕對值的其他可能值都比此值小，則所有誤差可能值都合格。因此，合格條件為：
|Δ|max+R標(biāo) ≤ R儀/指標(biāo)
即
|Δ|max ≤ R儀/指標(biāo) - R標(biāo) （33）
（B）由于計量誤差的存在，R的最小可能值是|Δ|max-R標(biāo)。若此值因過大而不合格，因儀器誤差絕對值的其他可能值都比此值大，則所有誤差可能值都不合格。因此，不合格條件為：
|Δ|max―R標(biāo) ≥ R儀/指標(biāo)
即
|Δ|max ≥ R儀/指標(biāo) + R標(biāo) （34）
注：校準(zhǔn)中的合格性判別同于檢定中的合格性判別。
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