基礎(chǔ)測(cè)量測(cè)量結(jié)果包含概率的表達(dá)

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                                   基礎(chǔ)測(cè)量測(cè)量結(jié)果包含概率的表達(dá)
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                                                                                              史錦順
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       思考題
       在基礎(chǔ)測(cè)量（常量測(cè)量）中，要取σ_平，怎樣說(shuō)明“包含區(qū)間”與“包含概率”的問(wèn)題呢？
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       測(cè)量有兩類：基礎(chǔ)測(cè)量與統(tǒng)計(jì)測(cè)量。經(jīng)典測(cè)量是基礎(chǔ)測(cè)量，現(xiàn)代測(cè)量仍然以基礎(chǔ)測(cè)量為主。隨著科技的發(fā)展和儀器精密度與準(zhǔn)確度的提高，統(tǒng)計(jì)測(cè)量越來(lái)越多。兩類測(cè)量的性質(zhì)不同，處理方式不同，因而探討測(cè)量理論問(wèn)題必須區(qū)分兩類測(cè)量。
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       在基礎(chǔ)測(cè)量中有兩種區(qū)間：測(cè)得值區(qū)間與真值區(qū)間。
       測(cè)得值區(qū)間體現(xiàn)在測(cè)量?jī)x器的研制場(chǎng)合與計(jì)量場(chǎng)合。研制場(chǎng)合，確定了測(cè)得值區(qū)間，計(jì)量場(chǎng)合公證了測(cè)得值區(qū)間。
       測(cè)量場(chǎng)合，測(cè)量者根據(jù)測(cè)量目的，選用夠格的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量者已知測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值R_儀（默認(rèn)已經(jīng)計(jì)量合格），就可用R_儀當(dāng)作測(cè)得值的誤差范圍值。設(shè)測(cè)得值是M_平，測(cè)量結(jié)果為
                  L_真 = M_平±R_儀                                                                    （1）
       M_平是測(cè)量值M_i的平均值，稱為測(cè)得值。觀察幾次，如果測(cè)量值不變，或尾數(shù)僅有一個(gè)字的變化，可認(rèn)定是基礎(chǔ)測(cè)量，不必進(jìn)行重復(fù)測(cè)量。如果有兩個(gè)字以上的變化，要進(jìn)行重復(fù)測(cè)量（取20次或30次，頻率短穩(wěn)要求測(cè)100次），按貝塞爾公式計(jì)算σ。將計(jì)算得到的σ與儀器指標(biāo)比較，按兩類測(cè)量的判別條件，認(rèn)定測(cè)量的類別，再分別處理。
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1 統(tǒng)計(jì)測(cè)量
       若
                  R_儀 ≤ σ                                                                                 （2）
R儀可略，認(rèn)定是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。按統(tǒng)計(jì)測(cè)量的規(guī)則處理。
       1）有異常數(shù)據(jù)要查找原因，不能輕易剔除；
       2）不能除以根號(hào)N。即用3σ表達(dá)被測(cè)量的偏差范圍；
       3）以測(cè)量值的平均值表征被測(cè)量的量值；
       4）被測(cè)統(tǒng)計(jì)變量的測(cè)量結(jié)果是
                  L = M_平±3σ
       5）被測(cè)統(tǒng)計(jì)變量的量值區(qū)間是
                  [M_平-3σ，M_平，M_平+3σ]
       6）包含概率
       隨機(jī)變量測(cè)量20次以上，即采樣次數(shù)N≥20，可認(rèn)定是正態(tài)分布。從高斯正態(tài)密度分布圖可見(jiàn)，取值大于3σ的偏差值很小。（具體計(jì)算見(jiàn)前文《偏差區(qū)間的包含概率的計(jì)算》）
       以上是統(tǒng)計(jì)測(cè)量理論與操作。
       注：當(dāng)對(duì)被測(cè)量的關(guān)注點(diǎn)是穩(wěn)定度時(shí)（如多普勒測(cè)速雷達(dá)對(duì)信源的要求），可放松條件（1），變?yōu)?br />                   σ_儀 ≤ σ/3                                                                         （2.1）
                  β_儀 不嚴(yán)格要求                                                                 （2.2）
        σ_儀、β_儀是測(cè)量?jī)x器的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，σ、β是隨機(jī)變量的隨機(jī)變化與系統(tǒng)變化。β按工程要求計(jì)算；而β_儀可用R_儀代替。以高穩(wěn)晶振為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量銫原子頻標(biāo)的0.1秒以下采樣時(shí)間的短穩(wěn)，標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確度可能低4個(gè)量級(jí)，而只要短穩(wěn)高3倍，滿足條件（2.1）即可。
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2 基礎(chǔ)測(cè)量
2.1 基礎(chǔ)測(cè)量的條件
       若
                  σ ≤ R_儀/3                                                                            （3）
則可認(rèn)為在現(xiàn)有儀器水平的條件下，測(cè)量是基礎(chǔ)測(cè)量。
       注：如果出現(xiàn)如下情況
                  R_儀/3 ＜ σ ＜ R_儀                                                               （4）
這是混沌測(cè)量，不能判斷指標(biāo)表征量的歸屬。在實(shí)際測(cè)量中，要選用指標(biāo)高一些即R_儀小一些的測(cè)量?jī)x器，使?jié)M足條件（2）或在穩(wěn)定度測(cè)量中滿足條件（2.1），使成為統(tǒng)計(jì)測(cè)量。
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2.2 基礎(chǔ)測(cè)量的特性
       基礎(chǔ)測(cè)量的被測(cè)量（相對(duì)儀器而言）是常量或視在常量（N次測(cè)量為一場(chǎng)測(cè)量，在一場(chǎng)測(cè)量中被測(cè)量不變）。測(cè)得值指標(biāo)表征量的著眼點(diǎn)是儀器的誤差。
       測(cè)量?jī)x器的原理是一種物理機(jī)制，由物理量的真值決定測(cè)得值。儀器作用的數(shù)學(xué)表達(dá)是儀器的測(cè)得值函數(shù)。測(cè)得值函數(shù)是儀器的測(cè)得值對(duì)真值的關(guān)系。
       測(cè)得值區(qū)間是儀器的測(cè)得值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)。
                  M = Z±R                                                                              （5）
       M是測(cè)得值，Z是被測(cè)量的真值，R是儀器的誤差范圍。
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       誤差范圍是誤差元（測(cè)得值與真值之差）的絕對(duì)值的一定概率（99%）意義上最大可能值。
       儀器的誤差，有隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差包括恒值的誤差，以及長(zhǎng)期穩(wěn)定度，環(huán)境影響。
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2.3 隨機(jī)誤差的分布
       儀器的隨機(jī)誤差，是隨機(jī)變量，要用統(tǒng)計(jì)的方法處理。
       高斯正態(tài)分布圖，是隨機(jī)變量概率密度分布圖。因此，有關(guān)分布、概率計(jì)算都是隨機(jī)誤差范疇內(nèi)的事。（測(cè)量計(jì)量是時(shí)域統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)誤差為恒值，不是正態(tài)分布。）
       單值的隨機(jī)誤差，是正態(tài)分布，平均值的隨機(jī)誤差也是正態(tài)分布。
       單值的σ，表示測(cè)量值單值對(duì)測(cè)量值期望值的偏離程度，測(cè)量值平均值的σ_平就是測(cè)量值平均值M_平對(duì)測(cè)量值期望值的偏離程度。
       在概率密度分布圖上，橫坐標(biāo)取測(cè)量值的單值M，圖形的意義是隨機(jī)變量單值的取值的概率密度。因?yàn)殡S機(jī)變量的平均值M_平也是隨機(jī)變量，因此橫坐標(biāo)取平均值M_平，圖形的意義就是平均值M_平的取值的概率密度。就是說(shuō)，高斯正態(tài)分布，對(duì)對(duì)單值M、對(duì)平均值M_平都成立。只是把橫坐標(biāo)換成M_平，σ換成σ_平，于是就成為以平均值為自變量的高斯概率密度分布圖。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的中心點(diǎn)是測(cè)量值的期望值（可用平均值的平均值來(lái)代表，為方便，直稱期望值）。
       實(shí)驗(yàn)的方法，對(duì)σ進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，要測(cè)量M組，每組N個(gè)數(shù)。每組得到一個(gè)σ，這樣就有M個(gè)平均值M_平i，以及相應(yīng)的M個(gè)σ_i 。M個(gè)σ_i取方和根。就得到σ_平。
       在貝塞爾公式的推導(dǎo)中，需利用N×M的模式，順便可以證明：σ_平=σ/√N(yùn)。有了這個(gè)理論結(jié)果，就方便多了。實(shí)際測(cè)量，無(wú)論是計(jì)量還是測(cè)量，就沒(méi)必要進(jìn)行N×M的復(fù)雜測(cè)量，而只要重復(fù)測(cè)量N次就可以了。既知道了σ，也就知道了σ_平。
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2.4 單值隨機(jī)誤差
2.4.1 測(cè)量值函數(shù)
       測(cè)量的隨機(jī)誤差元是
                  ε_i = M_i- (Z+β)
                     = M_i - EM                                                                          （6）
                  σ = √[(M_i – EM)²/N]                                                            （7）
       與（7）等價(jià)的實(shí)驗(yàn)公式是貝塞爾公式   
                  σ = √[(M_i – M_平)2/(N-1)]                                                      （8）  
       隨機(jī)誤差的范圍是
                  R_隨 = 3σ
       測(cè)量值函數(shù)是
                  M=EM±3σ                                                                             （9）      
       測(cè)量值區(qū)間是
                  [EM-3σ，EM，EM+3σ]                                                           （10）
2.4.2 由單值求期望值
       有隨機(jī)誤差的情況下，求測(cè)量結(jié)果的第一步就是由測(cè)量值找期望值。
       由測(cè)得值函數(shù)（9）解得期望值是
                 EM=M±3σ                                                                              （11）
       期望值的區(qū)間是
                 [M-3σ，M，M+3σ]                                                                 （12）
       以上是單值情況。測(cè)量一次，得到一個(gè)M。期望值EM=M±3σ的意義是：被測(cè)量的期望值的表征量是測(cè)量值M。被測(cè)量期望值可能小些，但不會(huì)小于M-3σ；被測(cè)量期望值可能大些，但不會(huì)大于M+3σ。
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2.5 多次測(cè)量，取平均值的情況
2.5.1 測(cè)得值函數(shù)
       測(cè)量N次，得到N個(gè)M，求得測(cè)量值的平均值M平，稱為測(cè)得值。按貝塞爾公式求出σ后，即知：
                 σ_平= σ/√N(yùn)                                                                           （13）
       在以M_平為橫坐標(biāo)的測(cè)得值概率密度圖上，分散性特征值是σ_平。
       隨機(jī)誤差的范圍是
                  R_隨 = 3σ_平
       測(cè)得值函數(shù)是
                  M_平=EM±3σ_平                                                                     （14）      
       測(cè)得值區(qū)間是
                  [EM-3σ_平，EM，EM+3σ_平]                                                    （15）
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2.5.2 由平均值求期望值
       測(cè)量是由測(cè)得值找期望值。
       由測(cè)得值函數(shù)（14）解得測(cè)量結(jié)果是
                  EM=M_平±3σ_平                                                                     （16）
       期望值的區(qū)間是
                  [M_平-3σ_平，M_平，M_平+3σ平]                                                （17）
       以上是測(cè)量N次的期望值。
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       期望值與被測(cè)量真值間差一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)就是系統(tǒng)誤差。以上討論，可以假設(shè)系統(tǒng)誤差為零，于是期望值變成真值，更符合通常的理解與習(xí)慣。總之，通常書(shū)上所稱的“取平均值用平均值的σ_平”、“取單值用單值的σ”，對(duì)基礎(chǔ)測(cè)量來(lái)說(shuō)是正確的。但在統(tǒng)計(jì)測(cè)量中不行。統(tǒng)計(jì)測(cè)量中，被測(cè)的統(tǒng)計(jì)變量的每個(gè)值都是真值，都是客觀存在，不能丟。這樣，統(tǒng)計(jì)測(cè)量中，量值的表征量要用M_平，而分散性的表征量是σ而不是σ_平。只有M_平±3σ才能包含全部（99.73%）隨機(jī)變量。
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       區(qū)分兩類測(cè)量，才能正確表達(dá)。不區(qū)分，混沌是難免的。
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2.6 測(cè)量結(jié)果
       在基礎(chǔ)測(cè)量中，只知道期望值是不行的，還必須知道系統(tǒng)誤差，才能求得真值，而測(cè)量的任務(wù)是得知真值。即得到真值的最佳表征量與誤差范圍。
       單值測(cè)量，誤差范圍是系統(tǒng)誤差β與隨機(jī)誤差范圍3σ的合成：
                    R_測(cè)1 = √ [β²+(3σ)² ]                                                       （18）
       多次測(cè)量，誤差范圍是系統(tǒng)誤差β與隨機(jī)誤差范圍3σ_平的合成：
                    R_測(cè)N = √ [β²+(3σ_平)² ]                                                    （19）
       在研制與計(jì)量場(chǎng)合，有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，可以測(cè)知儀器的測(cè)量誤差β，可按（18）式計(jì)算R_測(cè)，給出儀器的測(cè)量結(jié)果為
                  Z = M_平±R_測(cè)                                                                     （20）
       研制與計(jì)量場(chǎng)合，R_測(cè)取R_測(cè)1，在測(cè)量場(chǎng)合如果知道儀器系統(tǒng)誤差β，可取R_測(cè)N。通常，測(cè)量時(shí)只知道儀器的指標(biāo)值R_{指標(biāo)}（MPEV），其中包括σ的作用，因此測(cè)量者給出的測(cè)量結(jié)果為
                  L_Z =M_平±R_{指標(biāo)}                                                                 （21）
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3 測(cè)量結(jié)果的包含概率與包含因子
       （ 對(duì)思考題的回答。要點(diǎn)是：真值函數(shù)是測(cè)得值函數(shù)的反函數(shù)；測(cè)得值與真值的距離決定包含概率。基礎(chǔ)測(cè)量的測(cè)量結(jié)果區(qū)間的包含概率，是對(duì)真值的包含概率，包含對(duì)象是真值一個(gè)值；而統(tǒng)計(jì)測(cè)量的測(cè)量結(jié)果區(qū)間包含的對(duì)象是統(tǒng)計(jì)變量的全部值。）

       系統(tǒng)誤差，是恒值，“包含了”，包含概率就是100%. 因此，基礎(chǔ)測(cè)量的包含概率問(wèn)題，是隨機(jī)誤差的事。包含因子只能乘在隨機(jī)誤差σ上，而系統(tǒng)誤差β是恒值，不可乘以或除以任何因子（儀器指標(biāo)可整體留余量，那是另一回事）。
       由于總誤差對(duì)系統(tǒng)誤差的包含概率是1，隨機(jī)誤差對(duì)期望值的包含概率，就是總誤差的包含概率。
       A 在研制與計(jì)量場(chǎng)合，測(cè)量值中心是期望值，包含區(qū)間是以期望值為中心的對(duì)稱區(qū)間。單測(cè)量值以99.73%的包含概率，處于區(qū)間中。
       B 在測(cè)量場(chǎng)合，一次測(cè)量的包含區(qū)間是以M_i為中心的以3σ為半寬的區(qū)間，這就是測(cè)量結(jié)果。因?yàn)镸_i與期望值的距離不大于3σ，則該區(qū)間以99.73%的概率包含期望值。測(cè)量的任務(wù)是找到期望值。測(cè)量結(jié)果區(qū)間中已包含。
       同樣， N次測(cè)量的包含區(qū)間是以M_平i為中心的以3σ_平為半寬的區(qū)間，這就是測(cè)量結(jié)果。因?yàn)镸_平i 與期望值的距離不大于3σ_平，則該區(qū)間以99.73%的概率包含期望值。這就夠用了，達(dá)到了測(cè)量的目的。
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       圖1是由測(cè)得的M_i而確定包含期望值的區(qū)間示意圖（原理說(shuō)明）。
       圖2是由測(cè)得的M_平i而確定包含期望值的區(qū)間示意圖（原理說(shuō)明）。
       圖3 是由測(cè)得的M_平和已知的儀器誤差范圍而確定包含真值的區(qū)間示意圖（原理說(shuō)明）。如果圖3中的R是儀器的誤差范圍指標(biāo)值R_儀（準(zhǔn)確度、MPEV），則圖3就是直接測(cè)量的測(cè)量結(jié)果的示意圖。其中
                R=√ [β²+(3σ)² ]
                L_真= M_平±R
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1、謝謝史老師！
2、想問(wèn)問(wèn)，這些圖，是用什么軟件畫(huà)的？

f8c8 發(fā)表于 2018-1-11 19:30
1、謝謝史老師！
2、想問(wèn)問(wèn)，這些圖，是用什么軟件畫(huà)的？

       我退休已20.8年。計(jì)算機(jī)只能算能用，而軟件應(yīng)用水平很低。我文中所有的圖都是利用計(jì)算機(jī)中的“畫(huà)圖”版，手工畫(huà)出的。
       計(jì)算機(jī)“畫(huà)圖”功能版中，可以標(biāo)出X軸像素1000的坐標(biāo)。（x/y=100%）
       按“高斯誤差概率密度分布函數(shù)”（數(shù)學(xué)手冊(cè)上有，網(wǎng)上也可查得），找七個(gè)特征點(diǎn)：x=0（最大點(diǎn)）；X=1 （取100小格）即1σ點(diǎn)，是圖形中直線的中點(diǎn)，即凸凹曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)；2σ點(diǎn)；3σ點(diǎn)；查表知道與0、1、2、3對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)概率密度的值。由于圖形對(duì)稱，同樣知道-1、-2、-3各點(diǎn)的縱坐標(biāo)之值。在各點(diǎn)間，間隔0.1取x點(diǎn),對(duì)應(yīng)查出Y值（概率密度值），逐點(diǎn)畫(huà)出。這時(shí)，鐘形圖已大體呈現(xiàn)，再圓滑一下，即可得基本準(zhǔn)確的高斯概率密度分布圖。這是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖（σ=1，EX=0）.
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       利用“畫(huà)圖”版的變換功能，取x與Y的比例關(guān)系（選σ的不同值），可得高斯無(wú)偏正態(tài)分布圖；再簡(jiǎn)單平移，即得高斯有偏正態(tài)分布圖。
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       附言：搞測(cè)量計(jì)量工作，熟知并理解高斯概率密度分布圖，十分重要。
       貝塞爾公式與高斯正態(tài)分布，是測(cè)量計(jì)量的兩項(xiàng)基本理論。是精確而又完美的。但必須明確，這兩大理論的前提是隨機(jī)變量與隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差是隨機(jī)變量的一種特定形式。
       系統(tǒng)誤差是另一回事。貝塞爾公式中，因取差值，系統(tǒng)誤差不起作用；而在高斯分布理論中，系統(tǒng)誤差是曲線對(duì)中心線的偏離。系統(tǒng)誤差是常量，不能按“統(tǒng)計(jì)方式”處理。基于這個(gè)基本點(diǎn)，衍生出《史法測(cè)量計(jì)量學(xué)》的新的誤差合成方法。
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        近幾十年來(lái)，幾個(gè)美國(guó)人，提出的“不確定度體系”，哲學(xué)上是基于不可知論，邏輯上混淆對(duì)象與手段的關(guān)系。在測(cè)量計(jì)量的具體學(xué)術(shù)上，最基本的錯(cuò)誤是混淆系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差，是客觀事實(shí)，是否定不了的。不同性質(zhì)的事物，要用不同的方法處理。把處理隨機(jī)誤差的方法，用在系統(tǒng)誤差上，不確定度體系便處處出錯(cuò)。其中重要的一條是統(tǒng)計(jì)方式的問(wèn)題。系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的作用機(jī)理、測(cè)量計(jì)量的實(shí)際應(yīng)用，都是時(shí)域統(tǒng)計(jì)（統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)刻而變化）；而不確定度體系下所謂的分布，都是“臺(tái)域統(tǒng)計(jì)”（統(tǒng)計(jì)量依各臺(tái)儀器而不同）。臺(tái)域統(tǒng)計(jì)僅適用于用多臺(tái)儀器同時(shí)測(cè)量一個(gè)量的情況，而測(cè)量計(jì)量的實(shí)際情況是用一臺(tái)儀器重復(fù)測(cè)量一個(gè)量。因此，不確定度體系的分析計(jì)算，都不符合測(cè)量計(jì)量的實(shí)際情況，因而都是錯(cuò)誤的。
       我最近在想，不確定度體系這種世界性錯(cuò)誤的發(fā)生，與炮制者、應(yīng)用者對(duì)高斯概率分布、貝塞爾公式這兩項(xiàng)基本理論的前提與內(nèi)容的錯(cuò)誤理解，關(guān)系極大。因此，我自己寫(xiě)了一系列有關(guān)的文章，從各個(gè)角度來(lái)理解和說(shuō)明這兩項(xiàng)基本理論。也希望網(wǎng)友們加深對(duì)這兩大基本理論的理解。這是測(cè)量計(jì)量的根本。也是識(shí)破不確定度體系錯(cuò)誤的有力武器。
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史錦順 發(fā)表于 2018-1-12 09:46
我退休已20.8年。計(jì)算機(jī)只能算能用，而軟件應(yīng)用水平很低。我文中所有的圖都是利用計(jì)算機(jī)中的“畫(huà) ...

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