被測量值(量的真值)與測量誤差的可能散布及其統計問題

如果不加絲毫簡略，任何被測量值(量的真值)Z都會是一個“隨機變量”——與第i次“測量”對應的“被測量值樣本”不妨標記為
zi，i=1、2、…、N(→∞)      (1)
相應的，可實用標記
                     Z=｛z1 、z2 、… 、z∞｝         (2)
正常情況下，任何成熟的測量方案C(按標稱要求使用一套測量儀器，意圖獲取某個被測量值的“方案”)的測量誤差E會是一個零均值的“隨機變量”——與第i次“測量”對應的“測量誤差樣本”不妨標記為
εi，i=1、2、…、N(→∞)        (3)
相應的，可實用標記
                E=｛ε1 、ε2 、… 、ε∞｝        (4)
其均值:
μE=0                     (5)
用測量方案C測量被測量值Z，所得的“測得值樣本”不妨標記為
mi，i=1、2、…、N(→∞)          (6)
相應有
mi= zi+εi，i=1、2、…、N(→∞)          (7)
將“測得值樣本”｛mi，i=1、2、…、N(→∞)｝構成的“隨機變量”（總體）記為M，即
M=｛m1 、m2 、… 、m∞｝             (8)
相應有
M= Z+E                        (9)
如果考慮最簡單的情況——假定Z與E都服從“正態分布”，即
Z～ N( μZ, σZ  )             (10)
E～ N(   0, σE  )             (11)
其中，μZ為被測量值(量的真值)Z的“均值”；σZ與σE則分別為被測量值(量的真值)Z的“標準偏差”與測量誤差E的“標準偏差”；（11）式是應用了μE=0的結果。
【特別說明：有許多實際情況是不合式（10）和（或）式（11）的“假定”的，譬如涉及‘閃爍噪聲’之類的情況便需要“阿倫方差理論”來描述。】
由（9）、（10）及（11），有
μM =μZ                    (12)
其中，μM為測得值M的“均值”。
通常情況下，應該可以合理的假定被測量值(量的真值)Z與測量誤差E是“獨立無關的”，便可由（9）、（10）及（11），有
σM =√(σZ^2 +σE^2 )              (13)
其中，σM為測得值M的“標準偏差”。

在考慮最簡單的情況下：對于“常規測量”——對未知的被測量值(量的真值)Z的“測量”，需求目標顯然是“μZ”與“σZ”； 對于“測量系統標定、校準”之類的“非常規測量”——對已知量值Z （“μZ”及“σZ”已知）的“測量”，需求目標則顯然是體現“測量方案優劣品質”的指標“σE”。
如果真能如理想所愿——測量次數N→∞，那么，(12)及(13)式中的μM和σM便可以“精確”獲得！ 相應的，對于“常規測量”，即刻可得到“μZ”（在測量方案“成熟”的假定下——μE=0），在已知“σE”的前提下由(13)式也易得“σZ”； 對于“μZ”及“σZ”已知的“非常規測量”，(12)式便用于“誤差修正”，由(13)式可得“σE”。
然而，實際并非真能如理想所愿——測量次數N總是有限的，只能得到μM的估計值aM和σM的估計值sM
aM=( m1 +m2 +… +mN)/N                                   (14)
sM=√{[( m1- aM)^2 +( m2- aM)^2 +… +( mN- aM)^2]/(N-1)}       (15)
aM與μM難免有差異，相應的，aM與需求的“μZ”顯然也會有所“差異”。
為了“評估”aM與需求的“μZ”的“差異大小”，定義被測量“均值”μZ的估計值aZ
aZ  =  ( z1 +z2 +… +zN) / N                    (16)
考慮aM與aZ“差值”：
d = aM - aZ                          (17)
不難得到
d = ( ε1 +ε2 +… +εN ) / N                (18)
     如果N次測量的“測量誤差樣本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“獨立”，那么，考慮aM與aZ“差值”d的“標準偏差”將為
σd =σE / √N                      (19)
     此σd就是那個所謂的“除以根號N的σ”。 其實質含義是：在一定條件下，有限個“測得值樣本”的“平均值”與對應“被測量真值樣本”的“平均值”之差的“標準偏差”！ 其中——
① 被√N除的是“測量誤差”的“標準偏差”σE，而不是測得值M的“標準偏差”σM，也不是如(15)式所列σM的估計值sM！！
② 對于實際測量，N次測量的“測量誤差樣本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“獨立”的“如果”是很難成立的，實際測量時會有
σE /√N ≤ σd  ≤σE               (20)

說明： 兩字符并列時，后一個字符是下標。

1#有些地方考慮不周，修正如下——


如果不加絲毫簡略，任何被測量值(量的真值)Z都會是一個“隨機變量”——與第i次“測量”對應的“被測量值樣本”不妨標記為
zi，i=1、2、…、N(→∞)      (1)
相應的，可實用標記
                     Z=｛z1 、z2 、… 、z∞｝         (2)
正常情況下，任何成熟的測量方案C(按標稱要求使用一套測量儀器，意圖獲取某個被測量值的“方案”)的測量誤差E也會是一個“隨機變量”——與第i次“測量”對應的“測量誤差樣本”不妨標記為
εi，i=1、2、…、N(→∞)        (3)
相應的，可實用標記
                E=｛ε1 、ε2 、… 、ε∞｝        (4)
用測量方案C測量被測量值Z，所得的“測得值樣本”不妨標記為
mi，i=1、2、…、N(→∞)          (6)
相應有
mi= zi+εi，i=1、2、…、N(→∞)          (7)
將“測得值樣本”｛mi，i=1、2、…、N(→∞)｝構成的“隨機變量”（總體）記為M，即
M=｛m1 、m2 、… 、m∞｝             (8)
相應有
M= Z+E                        (9)
如果考慮最簡單的情況——假定Z與E都服從“正態分布”，即
Z～ N( μZ, σZ  )             (10)
E～ N( μE, σE  )             (11)
其中，μZ與μE分別為被測量值(量的真值)Z與測量誤差E的“均值”；σZ與σE則分別是它們的 “標準偏差”。
【特別說明：有許多實際情況是不合式（10）和（或）式（11）的“假定”的，譬如涉及‘閃爍噪聲’之類的情況便需要“阿倫方差理論”來描述。】
由（9）、（10）及（11），有
μM =μZ  +  μE                  (12)
其中，μM為測得值M的“均值”。
通常情況下，應該可以合理的假定被測量值(量的真值)Z與測量誤差E是“獨立無關的”，便可由（9）、（10）及（11），有
σM =√(σZ^2 +σE^2 )              (13)
其中，σM為測得值M的“標準偏差”。

在考慮最簡單的情況（即，符合式（10）和式（11）“假定”的情況）下：對于“常規測量”——對未知的被測量值(量的真值)Z的“測量”，需求目標顯然是“μZ”與“σZ”； 對于“測量系統標定、校準”之類的“非常規測量”——對已知量值Z （“μZ”及“σZ”已知）的“測量”，需求目標則顯然是體現“測量方案優劣品質”的指標“μE”及“σE”。
如果真能如理想所愿——測量次數N→∞，那么，(12)及(13)式中的μM和σM便可以“精確”獲得！ 相應的，對于“常規測量”，在已知“μE”及“σE”的前提下，分別由(12)、(13)式易得“μZ”和“σZ”； 對于“μZ”及“σZ”已知的“非常規測量”，由(12)式可得“μE”—用于“誤差修正”，由(13)式可得“σE”。
然而，實際并非真能如理想所愿——測量次數N總是有限的，只能得到μM的估計值aM和σM的估計值sM
aM=( m1 +m2 +… +mN)/N                                   (14)
sM=√{[( m1- aM)^2 +( m2- aM)^2 +… +( mN- aM)^2]/(N-1)}       (15)
aM與μM難免有差異，考慮aM與μM “差值”：
            f  = aM-μM                      (16)
不難得到
f  = [( m1 -μM )+ ( m2 -μM ) +… +( mN -μM ) ] / N         (17)
如果N次測量的“測得值樣本與其均值的偏差”｛( m1 -μM )、( m2 -μM ) 、… 、( mN -μM )｝相互“獨立”，那么，aM與μM “差值”f的“標準偏差”將為
σf=σM / √N                   (18)
此σf就是那個所謂的“除以根號N的σ”之一。 其實質含義是：在一定條件下，有限個“測得值樣本”的“平均值”與測得值M的“均值”μM之差的“標準偏差”！
需要注意的是：對于實際測量，N次測量的“測得值樣本與其均值的偏差”｛( m1 -μM )、( m2 -μM ) 、… 、( mN -μM )｝相互“獨立”的“如果”是不可能成立的，實際測量時會有
σM /√N  < σf  ≤σM              (19)
其中的σM通常取如(15)式所列的估計值sM。
有時候，也可能要“評估”有限個“測得值樣本”的“平均值”aM與相應“被測量（真）值樣本”的“平均值”aZ的“差值”d
aZ  =  ( z1 +z2 +… +zN) / N                 (20)
d = aM - aZ                                         (21)
不難得到
d = ( ε1 +ε2 +… +εN ) / N                (22)
     如果N次測量的“測量誤差樣本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“獨立”，那么，aM與aZ“差值”d的“標準偏差”將為
σd =σE / √N                      (23)
此σd是另一個所謂的“除以根號N的σ”。 其實質含義是：在一定條件下，有限個“測得值樣本”的“平均值”與對應“被測量（真）值樣本”的“平均值”之差的“標準偏差”！ 對此，需要注意兩點：
① 其中被√N除的是“測量誤差”的“標準偏差”σE，而不是測得值M的“標準偏差”σM，也不是如(15)式所列σM的估計值sM！！
② 對于實際測量，N次測量的“測量誤差樣本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“獨立”的“如果”是很難成立的，實際測量時會有
σE /√N ≤ σd  ≤σE               (24)


說明： 兩字符并列時，后一個字符是下標。