關于自由度的思索——九評不確定度論

          關于自由度的思索——九評不確定度論

                                                         史錦順

-

推行不確定度論的《JJF1059.1測量不確定度評定與表示》，關于自由度的條款為（有下劃線的是原文）：

4.26 自由度

在方差的計算中，和的項數減去對和的限制數。

注 ：

1 在重復性條件下，對被測量作n次獨立測量時所得的樣本方差為

（n1^2+n2^2+……+nn^2）/(n-1)，其中n1 =X1-X平，n2 =X2-X平……
nn =Xn-X平。 因此，和的項數即為殘差的個數n，而當n較大時 殘差之和等于零 （本網頁格式限制，表意如此）是一個約束條件，即限制數為1。由此可得自由度n=n-1。

【史評】

“當n較大時”這話是不對的。殘差之和等于零是普適的，不需要n較大這個條件。證明很簡單，對vi 求和，有兩項：被減數和減數。被減數求和得數據總和；減數是平均值，等于數據總合除以n,求和就是乘n(求和時共利用平均值n次)仍得數據總和。被減數與減數都是數據總和，二者相等，差值為零。

我的這段話，是我在本網上給《JJF1059.1》（預發稿）提意見時說的，竟有兩個網友說我說的不對。趁此系列評論的機會，再詳細表述一下。

殘差一詞來自經典測量學，什么叫殘差？

誤差理論的書上寫得很明白，本條款也寫得明白：測量得到的值減去平均值即（Xi-X平）就是殘差。殘差之和為零，證明很簡單，上邊已說過，不再重復。現舉例說說。

n=2：n1 = X1-(X1+X2)/2 ； n2 = X2-(X1+X2)/2

殘差之和=n1+n2 =X1+X2-(X1+X2)=0

n=3：n1 = X1-(X1+X2+X3)/3； n2 = X2-(X1+X2+X3)/3； n3 = X3-(X1+X2+X3)/3

殘差之和=n1+n2+n3=X1+X2+X3-(X1+X2+X3)=0

同理，n等于任何值，殘差之和都為零。這里特別寫出n=2、n=3成立，可見殘差之和為零不要求n較大這個條件。

現考慮較深入的兩個問題。n是數據量，即獨立測量的個數。談自由度，應是有多少個獨立測量，就有多少個數據，就有多少自由度。自由度是對獨立測量說的，是對數據說的，自由度是多少，本質說的是數據有多少個取值的可能。標準方差中是用偏差Xi-EX，是n個自由度，怎么到貝塞爾公式中用平均值代替數學期望，數據量還是n個，而自由度竟變成n-1了？如果取值的自由度是n-1,則應是有n-1個數據就決定一切了，第n個數據不起作用，是個沒有自由度的必然量。這是不符合事實的，n個數據，哪個也不能少。例如取2個數據，是2個自由度，如果已知二數據之和為b，則知道X1，必知X2是b-X1,因而是1個自由度。但取殘差平方和時是一個也不能少的。具體計算一下。

[X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個也不能缺，仍是2個自由度。

因此，說殘差之和等于零是一個約束條件，即限制數為1。由此可得自由度n  = n - 1。 這句話是不對的。n個數據的自由度是n,而不是n-1。公式中用到數據之和，設為Z，這是多出一個值，自由度該加1，而多出的Z等于數據之和是約束條件，要減去1，自由度加1又減1，還是n。

    不確定度論大講自由度，其實自由度并不是不確定度論的產物，是早就有的。自由度該取幾的爭論，也就算不上是分歧點，不論也罷。

2011年2月，JJF1059.1《測量不確定度評定與表示》規范制修訂起草小組，提出“本規范弱化了對給出自由度的要求”，這是正確的。

自由度的概念，無實際用途，難解難算，樣板評定中有人用，除數據量的自由度取n-1外，都是些隨意的估計。筆者的意見是：既然弱化，就弱化到零吧。