極差法和貝塞爾法

極差法和貝塞爾法在測量10次情況下不確定度能有多大差別，重復測量10情況下是不是優先選用貝塞爾法

貝塞爾法計算標準偏差所適用的條件：
樣本數N大于等于30，最好是30~50。N小于30則需要引入一定的修正。

這個問題提得好！提示一個思路，請大家指教：
用貝塞爾法的計算結果s1,其自由度為9，可以認為該s1與標準差σ的最大差值約為24％。（不知道怎么發公式，請參照1059的公式17）
用極差法的計算結果s2,其自由度約為7.8，可以認為該s2與標準差σ的最大差值約為25％。
因此可以得出，s1與s2的差值應小于35％
其差值大小與10個數據在區間內的分布情況有關。
驗證：

我在計量統計學方面還是個新手，以后還要請各位大師多多指教！

標準不確定度的A類評定定義為:“用對觀測列進行統計分析的方法，來評定標準不確定度”。國家計量技術規范JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》中介紹了兩種A類評定的方法，貝塞爾法和極差法。
    1.貝塞爾法
    當在重復性或復現性條件下，對被測量X進行n次獨立觀測。若得到的測量結果分別為x1，x2，……，xn，n次測量的平均值為。于是用貝塞爾公式可以求出單次測量結果xi的實驗方差s2(xi)和實驗標準差s(xi)。
   
    2.極差法
      當在重復性或復現性條件下，對被測量X進行n次獨立觀測。若n個測量結果中最大值和最小值之差為R(稱為極差)，在可以估計X接近正態分布的條件下，單次測量結果的實驗標準差s(xiv)可近似地表示為:
    s(xi)=R/C=u(xi)
      式中系數C為極差系數。極差系數之值與測量次數n的大小有關。表1給出極差法的極差系數和自由度與測量次數的關系。
   

  

     既然隨機變量X的標準偏差可以用兩種方法得到，就不可避免地會提出兩種方法孰優孰劣的問題。無疑，極差法具有計算簡單的優點。但在計算機應用已經十分普及的今天，用貝塞爾公式計算也已變得相當容易。因此關鍵問題還在于用何種方法估算得到的不確定度更為準確。
    表面上看來，用貝塞爾公式進行計算時使用了全部n個測量結果，而極差法只用了一個極大值和一個極小值，其余數據均棄之不用，因此用貝塞爾法得到的實驗標準差應該比極差法更為可靠。比較兩種方法的自由度也可以看出，極差法的自由度比貝塞爾法小(貝塞爾法的自由度為n-1，而極差法的自由度<n-1)。于是可以得到同樣的結論，貝塞爾法比極差法更為可靠。
    但實際上問題并沒有這么簡單。根據定義，用標準偏差表示的不確定度稱為標準不確定度。因此從理論上說，應該計算的是標準偏差σ，而不是實驗標準差s。但標準偏差是一個總體參數，也就是說，要進行無限多次測量才能得到。在實際工作中只能用樣本參數來代替總體參數，即用實驗標準差s來作為標準偏差σ的估計量。理論上可以證明，實驗標準差s并不是標準偏差σ的無偏估計量。這就是說，當用實驗標準差s來代替標準偏差σ時，除了實驗標準差s本身是一個隨機變量外，它的數學期望值(即無限多次測量結果的平均值)相對于標準偏差σ還有一個與測量次數有關的系統性偏差。測量次數越少，其系統性偏差就越大。因此可以對貝塞爾公式作一無偏差的修正。經過無偏差修正后的貝塞爾公式為:
      
    上式中修正因子Mn的數值見表2。由表2可知，當測量次數n≤6時，隨著測量次數減少，偏離系數Mn將明顯加速偏離1。
   



   也可以分別計算出用貝塞爾公式和極差法得到的實驗標準差的相對標準不確定度，其計算結果見表3。由表3可以看出，當測量次數n=10時，兩種方法得到的實驗標準差準確程度幾乎相同。當n>10時，貝塞爾法優于極差法；當n<10時，極差法優于貝塞爾法。至于修正的貝塞爾公式，相比而言雖然最為準確，但因比較麻煩實際上很少使用。這就是為什么國家計量技術規范JJF1059-1999中在給出極差系數及自由度表后指出“一般在測量次數較小時采用該法”，以及國家計量技術法規統一宣貫教材《測量不確定度評定與表示指南》中同時還指出“測量次數以4～9次為宜”。
   

  

上面的分析，僅是針對實驗標準差而言的。在大部分的測量不確定度評定中，測量不確定度A類評定僅是其中的一個或幾個分量。他們還將與其他B類評定的分量合成，才能得到合成標準不確定度。合成的方法是方差相加。雖然實驗標準差s并不是標準偏差的無偏估計量，但卻可以證明實驗方差s2是總體方差σ2的無偏估計量。因此，若A類評定需要和其他B類分量合成，且A類評定分量不占優勢時，則無論測量次數的多少，貝塞爾法將優于極差法。
    因此筆者認為結論應該是:
    (1)當A類評定不確定度分量不是合成標準不確定度中惟一占優勢的分量時，則無論測量次數多少，貝塞爾法優于極差法。
      (2)當A類評定不確定度分量是合成標準不確定度中惟一占優勢的分量時，則兩種方法的優劣與測量次數有關。當測量次數n<10時，極差法優于貝塞爾法；當測量次數n≥10時，貝塞爾法優于極差法。

其實這兩種方法只是應用的場合不一樣
一般目前我的做法是10次以上用貝賽爾
6次以下用極差 6-10次之間的兩個都算下取大的
一般用這個都是在算重復性引入的不確定度上
既然是不確定的 就是越大越保險嘛

5# zhengfeihu
分析的非常好。
       不過對于兩條結論中的第（1）條，我還不太明白其原因。我覺得既然“A類評定分量不占優勢”，則應該是“無論測量次數的多少，貝塞爾法和極差法就無所謂優劣”了，最終的合成結果應該是相同的。因為JJF1059規定不確定度的結果不允許超過2位有效數字，它們的差異不足以影響到最終結果2位有效數字的可靠性。所以我覺得只要做出第（2）條結論就足矣，即“兩種方法的優劣與測量次數有關。當測量次數n<10時，極差法優于貝塞爾法；當測量次數n≥10時，貝塞爾法優于極差法”。不知道我的理解對否。
       另外，你的文章中表1、表2、表3能夠顯示出來就好了。

各位談的都不錯！
我也希望能夠看到5樓的表。

貝塞爾法要求樣本量大于10以上，用起來就比較可靠。因為次數愈多就愈能代表總體。而樣本量小的話，可能并不能代表總體，或者是與總體分布就大的差別，而小樣本下采用極差法，由于極差法的計算因子進行了擴大，也就是將變差擴大了，因此就更能涵蓋總體的分布。因此小樣本是用極差法更可靠一點。

5樓第一條結論是基于“實驗方差s2是總體方差σ2的無偏估計量”。

7# 規矩灣錦苑
請看原文

10# 深圳漁民：您好！

附件是個不錯的資料，其中有一句話：
雖然實驗標準差s并不是標準偏差的無偏估計量，但卻可以證明實驗方差s2是總體方差σ2的無偏估計量

我對“實驗標準差s并不是標準偏差的無偏估計量，但...實驗方差s2是總體方差σ2的無偏估計量”不理解，它是如何證明的，可否指教一二？多謝了！

好復雜的問題啊，看來平時我們工作中簡單化了，我們通常取6-10次，但均采用貝塞爾公式。學習了不少。

當測量次數n<10時，極差法優于貝塞爾法；當測量次數n≥10時，貝塞爾法優于極差法。

回復 1# zhouan


    差別不大   但隨著測量次數的增加  貝塞爾法還是比較合理的

用貝塞爾法很合理

兩者各有優劣，
當測量次數n<10時，極差法優于貝塞爾法；當測量次數n≥10時，貝塞爾法優于極差法。

主要在實際應用中才能體現出來

好難啊
怎么曲屏

謝謝分享，新人努力學習中

同意14樓的說法

10以上貝塞爾

都是評估的方法，沒有絕對的

測量的次數多了還是傾向于貝塞爾法

ktxe2010 發表于 2009-11-9 08:24
其實這兩種方法只是應用的場合不一樣
一般目前我的做法是10次以上用貝賽爾
6次以下用極差 6-10次之間的兩個 ...

這個做法簡單且有用