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計量論壇

標題: 有效數字及其運算 [打印本頁]

作者: duomeiti 時間: 2007-3-30 00:21
標題: 有效數字及其運算

有效數字及其運算

實驗離不開測量，測量是借助儀器讀取數據，測量的結果總有誤差。那么，實驗中如何讀取數據，測得的數據如何進行運算，才能既方便，又具有合理的準確度呢?這就是有效數字及其運算所要討論的問題。下面將作簡要介紹。
一、有效數字的意義
1.儀器的讀數規則
在實驗中，使用儀器讀取待測量的數值時，所讀取的數字的準確程度直接受儀器本身的精密度——最小刻度的限制。為了獲得較好的測量結果，在讀取數字時，我們通常的作法是：首先讀出能夠從儀器上直接讀出的準確數字，對余下部分再進行估計讀數。即將讀數過程分為直讀和估讀。例如，如圖2所示，用米尺測量一物體的長度時，物體的長度在7.4～7.5厘米之間。那么首先直讀，可以直接讀出的部分——準確數字應為7.4cm；然后估讀，估計余下部分約為0.5mm，即0.05cm；物體的長度即為7.45cm。則，其中7.4cm部分為可靠數字，0.05cm部分為存疑數字。
2．有效數字的定義
我們把通過直讀獲得的準確數字叫做可靠數字；把通過估讀得到的那部分數字叫做存疑數字。把測量結果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數字的全部數字叫有效數字。如上例中測得物體的長度7.45cm。數據記錄時，我們記錄的數據和實驗結果的表述中的數據便是有效數字。
3.說明
(1)實驗中的數字與數學上的數字是不一樣的。如
數學的 8.35=8.350=8.3500 ,
而實驗的 8.35≠8.350≠8.3500。
(2)有效數字的位數與被測量的大小和儀器的精密度有關。如前例中測得物體的長度為7.45cm，若用千分尺來測，其有效數字的位數有五位。
(3)第一個非零數字前的零不是有效數字。
(4)第一個非零數字開始的所有數字(包括零)都是有效數字。
(5)單位的變換不能改變有效數字的位數。因此，實驗中要求盡量使用科學計數法表示數據。如100.2m可記為0.1002km。但若用cm和mm作單位時，數學上可記為10020cm和100200mm，但卻改變了有效數字的位數。采用科學計數法就不會產生這個問題了。
(6)有效數字與不確定度的關系。
有效數字的末位是估讀數字，存在不確定性。一般情況下不確定度的有效數字只取一位，其數位即是測量結果的存疑數字的位置；有時不確定度需要取兩位數字，其最后一個數位才與測量結果的存疑數字的位置對應。
由于有效數字的最后一位是不確定度所在的位置，因此有效數字在一定程度上反映了測量值的不確定度（或誤差限值）。測量值的有效數字位數越多，測量的相對不確定度越小；有效數字位數越少，相對不確定度就越大。可見，有效數字可以粗略反映測量結果的不確定度。

作者: duomeiti 時間: 2007-3-30 00:23
二、運算規則
一般來講，有效數字的運算過程中，有很多規則。為了應用方便，我們本著實用的原則，加以選擇后，將其歸納整理為如下兩類。
1.一般規則
(1)可靠數字之間運算的結果為可靠數字。
(2)可靠數字與存疑數字，存疑數字與存疑數字之間運算的結果為存疑數字。
(3)測量數據一般只保留一位存疑數字。
(4)運算結果的有效數字位數不由數學或物理常數來確定，數學與物理常數的有效數字位數可任意選取，一般選取的位數應比測量數據中位數最少者多取一位。例如：可取=3.14或3.142或3.1416……；在公式中計算結果不能由于“2”的存在而只取一位存疑數字，而要根據m和v來決定。
(5)運算結果將多余的存疑數字舍去時應按照“四舍六入五湊偶”的法則進行處理。即小于等于四則舍；大于六則入；等于五時，根據其前一位按奇入偶舍處理(等幾率原則)。例如，3.625化為3.62，4.235則化為4.24。
1.       具體規則
(1)有效數字相加(減)的結果的末位數字所在的位置應按各量中存疑數字所在數位最前的一個為準來決定。例如
      30.4                   26.65
      +  4.325             - 3.905
      34.725                22.745
取30.4+4.325=34.7，26.65-3.905=22.74。
(2)乘(除)運算后的有效數字的位數與參與運算的數字中有效數字位數最少的相同。
由此規則(2)可推知：乘方、開方后的有效數字位數與被乘方和被開方之數的有效數字的位數相同。
(3)指數、對數、三角函數運算結果的有效數字位數由其改變量對應的數位決定。例如：中存疑數字為0.08，那么=？我們將的末位數改變1后比較，找出發生改變的位置就能得知。
(4)有效數字位數要與不確定度位數綜合考慮。
   一般情況下，表示最后結果的不確定度的數值只保留1位，而最后結果的有效數字的最后一位與不確定度所在的位置對齊。如果實驗測量中讀取的數字沒有存疑數字，不確定度通常需要保留兩位。
但要注意：具體規則有一定適用范圍，在通常情況下，由于近似的原因，如不嚴格要求可認為是正確的。

作者: aiai1111 時間: 2007-3-30 09:24
引用-------(6)有效數字與不確定度的關系。

是嗎?有待商榷.

有的測量數字的最后2位或3位都有可能是估讀的,計量基準就有這個問題,

另:不確定度一般都取2位有效數字,樓主說是1位,也有一點道理!!

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