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計量論壇

標題: 偏差區間的包含概率的計算 [打印本頁]

作者: 史錦順 時間: 2017-12-31 09:40
標題: 偏差區間的包含概率的計算
本帖最后由史錦順于 2017-12-31 10:00 編輯

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                                 偏差區間的包含概率的計算
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                                                                                             史錦順
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1 兩類測量的兩種方差
1.1 兩類測量
   對常量的測量稱為基礎測量。經典誤差理論的應用范圍是基礎測量。基礎測量的條件是被測量的變化范圍遠小于測量儀器的誤差范圍。被測量有慢變化，但在測量時段內，變化可略，也是基礎測量。
   在基礎測量中，隨機變化的誤差，稱隨機誤差；在測量的時段內為恒值的誤差，稱為系統誤差。測量者進行重復測量，即可認知隨機誤差；但因測量場合沒有計量標準，無法確定系統誤差。在計量場合，有計量標準，不僅可以測知隨機誤差范圍，也可以測知系統誤差。隨機誤差范圍與系統誤差范圍，在有計量標準的條件下，都可以通過測量來確定。
   測量儀器的長期穩定度、環境條件等的影響量，體現在儀器機理設計中，并經過實踐考驗證實，儀器方能定型生產。生產廠在給出儀器性能指標時，是包含這部分內容的。就是說，儀器的性能指標，是指工作性能指標，包括使用條件（如溫度范圍等）、指標保證時段（通常為一年。也可給出三個月、半年、一年、三年的時段限制）。
   計量只管當時的隨機誤差與系統誤差，不涉及長穩與環境溫度。如果在長穩與環境溫度方面出問題（非人工破壞或保管、使用不當），責任由生產廠負責。
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1.2 兩種方差
   在基礎測量中，儀器示值的隨機變化，是儀器自身的性能（外界影響也是通過儀器而體現出來的），與被測量無關，是儀器的隨機誤差。
   測量值的方差的平方根是儀器的隨機誤差。多次測量，取平均值，可以減小隨機誤差。測量的隨機誤差范圍是3σ[sub]平[/sub]。
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   在統計測量中，儀器的誤差可略，儀器示值的隨機變化，是被測量的隨機變化引起的。
   測量值的方差的平方根是被測統計變量的隨機偏差。多次測量，取平均值。平均值是隨機變量的最佳代表值。各個測量值都是被測統計變量的真值（儀器誤差可略），測量結果是平均值加減偏差范圍。以平均值為中心的、以偏差范圍（3σ）為半寬的區間，對被測統計變量的包含概率是99.7%.
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2 高斯正態分布的理論
2.1 有偏正態分布
   高斯有偏正態分布的幾率密度函數為
               p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)[sup]2 [/sup]/ (2σ[sup]2[/sup])]                         （1）
2.2 無偏正態分布
   令ξ = Y-μ，則
               Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
   ξ是期望值為0的純隨機變量。
   高斯無偏正態分布的幾率密度函數為
               p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ[sup]2[/sup] / (2σ[sup]2[/sup])]                               （2）
2.3 標準正態分布
   再令σ=1，并令x=ξ，則稱標準正態分布。標準正態分布的概率密度函數為
               p(x) = [1/√(2π)] exp [– x[sup]2[/sup] / 2]                                              （3）
   正態分布的“概率函數”為
               φ(x)= [1/√(2π)]∫(-∞→x) [exp (– t[sup]2[/sup] / 2)] dt                            （4）
   《數學手冊》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數值表。本文據此計算。
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3 正常情況下，統計變量偏差區間包含概率的計算
   定義1 偏差
   統計變量的量值與期望值之差。
   定義2 偏差范圍
   偏差范圍是偏差絕對值的一定概率意義上的最大可能值。
   定義3 統計變量的量值區間
                  [M[sub]平[/sub]-3σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+ 3σ]
   用平均值代表被測的統計變量，是正確的，就是正常情況。所謂包含概率，就是以平均值為中心的、以偏差范圍為半寬的區間，包含各個統計變量的概率。
3.1 包含概率的規律
   1）規律1  由概率函數定義，從-∞到k的概率是φ(k)，
               p(-∞→+k) =φ(k)                                                                （5）
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   2）規律2  從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數的對稱性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，都是1-φ(k)。有
      從-∞到-k的包含概率為
               p(-∞→-k) = 1-φ(k)
               φ(-k) = 1-φ(k)                                                                   （6）
   3）規律3  以平均值為中心的對稱區間的包含概率
               p(-k→+k) = p(-∞→+k) – p(-∞→-k )
                     =φ(k) -φ(-k)
                     =φ(k) – [1-φ(k)]
                     =2φ(k)-1                                                                      （7）
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3.2 包含概率的計算
3.2.1 區間 [M[sub]平[/sub]-σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+σ] ，簡記為[-σ，+σ]
      查表φ(1)=0.841345
      k=1，代入公式（7），包含概率為
               p[sub]σ[/sub] = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
                     = 0.683                                                                         （8）
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3.2.2 區間 [M[sub]平[/sub]-2σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+2σ] ，簡記為[-2σ，+2σ]
      查表φ(2)=0.977250，
      k=2，代入公式（7），包含概率為
               p[sub]2σ[/sub]= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
                  = 0.9545                                                                         （9）
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3.2.3 區間 [M[sub]平[/sub]-3σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+3σ] ，簡記為[-3σ，+3σ]
      查表φ(3)=0.998650
      k=3，代入公式（7），包含概率為
               p[sub]3σ[/sub]= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
                  = 0.9973                                                                         （10）
   以上（8）（9）（10）是以平均值為中心的正常情況，是測量計量工作者熟知的幾個重要數據。誤差理論主張取3σ為區間半寬，包含概率是99.73%；不確定度體系通常（默認）取2σ為區間半寬，包含概率是95.45%.
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4 非正常情況，即不取平均值而取其他單值時，區間包含概率的計算
   公式推導設單值為Y[sub]平[/sub]+ nσ , 區間半寬為kσ, 則區間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
                  K[sub]1[/sub]=n-k
                  K[sub]2[/sub]=n+k
   當K為負值時，由于概率密度函數的對稱性，從-∞到K(負值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當K為正值時，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
   從-∞到K[sub]2[/sub]的包含概率減去從-∞到K[sub]1[/sub]的包含概率，就是所求的區間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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4.1 計算公式
4.1.1  (n-k)＜0，(n+k)＞0
               P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]                                                    （11）
4.1.2  (n-k) ≥0
               P=φ(n+k) -φ(n-k)                                                             （12）
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3.2 計算舉例
例1 取Y=Y[sub]平[/sub]+2σ，求半寬為3σ的區間的包含概率
   k=3，n=2 按公式（11）計算
               P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
                  =φ(5)-[1-φ(1)]
                  ≈φ(1)=0.841345
                  ≈0.84
例2 取Y=Y[sub]平[/sub]+2σ，求半寬為2σ的區間的包含概率
   k=2，n=2 按公式（12）計算
               P=φ(n+k) -φ(n-k)
                  =φ(4)- φ(0)
                  ≈1-0.50
                  ≈0.5
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例3 取Y=Y[sub]平[/sub]+3σ，求半寬為3σ的區間的包含概率
   k=3，n=3 按公式（6）或（7）計算
               P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
                  =φ(6) – [1-φ(0)]
                  =φ(0)
                  = 0.5
例4 取Y=Y[sub]平[/sub]+3σ，求半寬為2σ的區間的包含概率
   k=2，n=3 按公式（7）計算
               P=φ(n+k) -φ(n-k)
                  =φ(5) –φ(1)
                  =1-0.841345
                  = 0.16
   說明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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   總結
   統計變量的分散性，是統計變量本身的特性，必須如實地描述、表達，不能人為地縮小。單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標準偏差σ[sub]平[/sub]，隨著測量次數增大而縮小，并趨于零。σ[sub]平[/sub]不是隨機變量的表征量。因此，表征隨機變量的分散性，必須用σ。
   用σ表達分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區間的包含概率是95.45%”、“以3σ為半寬的區間的包含概率是99.73%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區間的概率就會大大降低，如例1到例4。就是說：
   1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
   2 量值必須取平均值。
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附錄  統計測量，如果取σ[sub]平[/sub]，即σ除以根號N，會是什么結果
（1）由于σ[sub]平[/sub]=σ/√N，設N=25，則σ[sub]平[/sub]=σ/5。此時以3σ[sub]平[/sub]為半寬的區間為
                  [M[sub]平[/sub]-3σ[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+3σ[sub]平[/sub]]                                        （13）
   因σ[sub]平[/sub]=σ/5，代入（13）
                  [M[sub]平[/sub]-0.6σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+0.6σ]                                           （14）
   根據公式（7）
               p(-k→+k) = 2φ(k)-1
   k=0.6 查表 φ(0.6)=0.725747
               p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.6)-1
                     = 2×0.725747 -1
                     =0.4515                                                                      （15）

（2）條件同上，此時以2σ[sub]平[/sub]為半寬的區間為
                  [M[sub]平[/sub]-2σ[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+2σ[sub]平[/sub]]                                           （16）
   因σ[sub]平[/sub]=σ/5，代入（16）
                  [M[sub]平[/sub]-0.4σ，M[sub]平[/sub]，M[sub]平[/sub]+0.4σ]                                              （17）
   根據公式（7）
               p(-k→+k) = 2φ(k)-1
   k=0.4 查表 φ(0.4)= 0.655422
               p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.4)-1
                     = 2×0.655422 -1
                     =0.3108                                                                            （18）
   由以上計算可知，如果取σ[sub]平[/sub]，以3σ[sub]平[/sub]為半寬的區間，對隨機變量的包含概率是45.15%；以2σ[sub]平[/sub]為半寬的區間，對隨機變量的包含概率是31.08%. 包含概率太低了！
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   思考題
   在基礎測量（常量測量）中，要取σ[sub]平[/sub]，怎樣說明“包含區間”與“包含概率”的問題呢？
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作者: 史錦順 時間: 2017-12-31 11:23
本帖最后由史錦順于 2017-12-31 11:35 編輯

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   正態分布的“概率函數”數值簡表，摘自《數學手冊》（1980版）
            φ(x)= [1/√(2π)] ∫ (-∞→x) [exp (– t[sup]2[/sup] / 2)] dt
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x       φ(x)                   x       φ(x)                   x       φ(x)
0.0 0.500000             1.0    0.841345             2.0    0.977250
0.1 0.5398                   1.1    0.8643                2.1    0.9821
0.2 0.5793                   1.2    0.8849                2.2    0.9861
0.3 0.6179                   1.3    0.9032                2.3    0.9893
0.4 0.6554                   1.4    0.9192                2.4    0.9918
0.5 0.6515                   1.5    0.9332                2.5    0.9938
0.6 0.7257                   1.6    0.9452                2.6    0.9953
0.7 0.7580                   1.7    0.9554                2.7    0.9965
0.8 0.7881                   1.8    0.9641                2.8    0.9974
0.9 0.8159                   1.9    0.9713                2.9    0.9981
                                                                        3.0    0.998650
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作者: 史錦順 時間: 2017-12-31 16:13
本帖最后由史錦順于 2017-12-31 16:30 編輯

         答題有獎！——第一個答對與最佳答案，各獎勵金幣1000個。截止期限：一個月。
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   題目 1
   在基礎測量（常量測量）中，要取σ[sub]平[/sub]，怎樣說明“包含區間”與“包含概率”的問題呢？
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   注：老史現有金幣萬余枚，準備盡快獎勵出去，以促進思考和爭論。大家搶呀！
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作者: csln 時間: 2018-1-2 07:54
無語，σ平怎么可以這樣用，完全顛覆了σ平的物理意義，張冠李戴

作者: csln 時間: 2018-1-2 08:37
本帖最后由 csln 于 2018-1-2 08:45 編輯

一個隨機變量x，重復性測量條件下重復測量了有限次N次測量，xi的平均值xi平也是一個隨機變量，實驗標準差s表征xi的分散性，s平表征xi平均值的分散性

對于總體標準差σ，σ平沒有意義，不存在N為無窮大的n個平均值，N為無窮大時，只有一個xi平均值，自然也不存在用s平（N無窮大）來表征這一個值的分散性，或者說其物理意義是σ平=0，表征了這一個值的分散性是0

作者: 吳下阿蒙 時間: 2018-1-2 11:53
本帖最后由吳下阿蒙于 2018-1-2 11:56 編輯

史錦順發表于 2017-12-31 16:13
答題有獎！——第一個答對與最佳答案，各獎勵金幣1000個。截止期限：一個月。
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題目 1

我的胡亂的推理=。=

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