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計量論壇

標題: 最小二乘法擬合公式的有關分析 [打印本頁]

作者: 史錦順 時間: 2017-4-21 11:55
標題: 最小二乘法擬合公式的有關分析
本帖最后由史錦順于 2017-4-21 12:11 編輯

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                           最小二乘法擬合公式的有關分析
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                                                                                 史錦順
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1 線性擬合公式的應用
   因變量Y與自變量X間，大體有線性關系。
   用實驗（實際測量），來確定Y對X的函數關系。測量N次，數據為：
               X[sub]1[/sub]  X[sub]2[/sub] …… X[sub]i[/sub] …… X[sub]N [/sub]
               Y[sub]1[/sub]  Y[sub]2[/sub] …… Y[sub]i[/sub] …… Y[sub]N[/sub]                                           （1）
   自變量X取準，誤差可略，認為無誤差。因變量Y是儀器的測得值，有誤差。Y[sub]i[/sub]與X[sub]i[/sub]一一對應。
   擬合得到的線性公式為：
               Y = a + bX                                                       （2）
   所謂“最小二乘法擬合”，就是依數據列（1）求得公式（2）。或者說是求得直線方程（2）的斜率b和截距a。
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   時頻界，求頻標的漂移率（晶振稱老化率）普遍用最小二乘法。
   “自變量”是時間t，t[sub]i [/sub]=iT, T是時間單位（日或半日），誤差可略。“因變量”是頻標的頻率值fi，是儀器測得值，有誤差。
   擬合得頻率值隨時間變化的線性公式為
               f = f[sub]o[/sub] + Kt                                                       （3）
   將（3）式減去參考頻率f[sub]標[/sub]，得頻差關系式為：
               f - f[sub]標[/sub] = f[sub]o[/sub] - f[sub]標[/sub] +Kt
               Δf =Δf[sub]o[/sub] + Kt                                                       （4）
   為方便，通常表示為相對頻差
               Δf /f[sub]o [/sub]=Δf[sub]o[/sub] /f[sub]o[/sub]+ Kt/f[sub]o
[/sub]                δf = δf[sub]o[/sub] + kt                                                       （5）
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   要分清兩個不同的問題。
   第一個問題是：已知頻率變化率k、初始頻差偏差δfo 的條件下，怎樣用公式（5）求得總偏差δf。
   （5）式是個簡單的代數式。δf[sub]o[/sub]與kt都是偏差，它們二者合成，就是代數運算，二者都是有符號、有數值的量，按“代數計算法則”計算就是了，搞不確定度合成，是看錯了對象，畫蛇添足，瞎胡算。
   例1 已知晶振甲的老化率k= -3×10[sup]-10[/sup]。2017年4月1日，用銫原子鐘測得晶振甲的相對頻差是 – 1.0×10[sup]-8[/sup]，問到2017年7月10日，長期加電的晶振甲的頻差是多少？
   解答：k= -3×10[sup]-8[/sup]/日，δf[sub]o[/sub]= - 1.0×10[sup]-8[/sup]，t=100日，代入（5）式，得
            δf = - 1.0×10[sup]-8 [/sup]+ (-3×10[sup]-10[/sup]/日)×100日
                  = - 1.0×10[sup]-8[/sup] - 3×10[sup]-8
[/sup]                   = - 4×10[sup]-8
[/sup]-
   例2 對晶振甲，已知老化率k= -3×10[sup]-10[/sup]，參照檢定規程的頻率調整法。2017年4月1日，用銫原子鐘調整晶振甲的相對頻差是 +1.0×10[sup]-8[/sup]，問到2017年7月10日，長期加電的晶振甲的頻差是多少？
   解答：k= -3×10-[sup]10[/sup]/日，δf[sub]o[/sub]= +1.0×10[sup]-8[/sup]，t=100日，代入（5）式，得
            δf = +1.0×10[sup]-8 [/sup]+ (-3×10-[sup]10[/sup]/日)×100日
                  = +1.0×10[sup]-8[/sup]  - 3×10[sup]-8
[/sup]                   = - 2×10[sup]-8
[/sup]-
   用最小二乘法，費力氣計算得到的公式（5），上兩例的應用是正確的。不確定度體系對公式（5）的處理，用什么“不確定度傳播律”，是錯誤的，是抹煞人類的智慧，否定知識。這是“不確定度體系是偽科學”判斷的又一個證據。請大家注意一個事實：凡用GUM法處理的計算問題，幾乎都是錯誤的。至于不確定度論說教中的“相關”“不相關”都是沒用的假話。初始頻差、線性變化率、時間，三者都完全是各自獨立的量，該認為是“不相關”；而三者共同構成總的頻差的量值，又怎能說不相關？其實初始頻差、變化產生的頻差，客觀上的作用必定是“代數和”，那種關于“相關性”的分析是沒有用的。
   如果是估計“范圍”，起決定作用的是二項和平方展開式的交叉系數。這里是兩項系統誤差，算“范圍”也必須取“絕對和”，而不能是不確定度體系的“方和根”。“假設不相關”無用；“真不相關”也沒用。相關性的判別，與誤差合成法無關。
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   上邊講的是第一個問題：擬合公式的應用；第二個問題是，測定（5）式中兩個量截距與斜率的誤差有多大？初始頻差的測量誤差易得；而求老化率k的誤差，是當今世界測量計量界的一大難題。葉德培先生在她的樣板評定中，缺失了（或者說弄錯了）。
   老史先將老化率k的公式簡化；由此方見端倪。簡述如下。
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2 老化率公式的簡化
   簡化公式的主要技巧是對稱編號。
   取測量次數N為奇數，中間數為0，則上有(N-1)/2個號，下有(N-1)/2個號。
   例如
   1）測量晶振的頻率老化率（線性漂移率），測量7天。每天定時（例如9:00）測量。每日一個數據（三個頻率的平均值），對稱編號就是f(-3)、f(-2) 、f(-1)、f(0)、f(+1)、f(+2)、f(+3)。
   2）測量晶振的頻率老化率。前7天。每天定時兩次測量（例如9:00、21:00）。每日兩個數據（每個數據是三次測量的平均值），第8天9:00得1數據。對稱編號就是f(-7)、f(-6) 、f(-5)、f(-4)、f(-3)、f(-2)、f(-1)、f(0)、f(+1) 、f(+2)、f(+3)、f(+4)、f(+5) 、f(+6)、f(+7)。
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   要擬合的公式是
               f = f[sub]o [/sub]+ Kt                                                       （3）
   其中，fo是初始頻率，K是線性變化率。fo易獲知；主要作業是擬合直線斜率K。史錦順得到的簡化公式（參見附件）為：
            K = ∑[sub]j=(-n)→n [/sub](f[sub]j[/sub] –f[sub]r[/sub]) j / [(N-1)N(N+1)T/12]          （6）
   簡化公式的主要技巧是對稱編號。
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【晶振日老化率速算法】
（1） 7天，每天1值
   按時間順序標記數據：中間數標0，由0分界，順時序標1至3，逆時序標-1至-3。各數據減一常數之后的尾數乘標號，乘積累加，除以28，即得日老化率。
   口訣：對稱編號，去整作差，號乘差累加，除以二十八。
（2）7周天，每天2點，共15點（第8天測一個點）
   按時間順序標記數據：中間數標0，由0分界，順時序標1至7，逆時序標-1至-7。各數據減一常數之后的尾數乘標號，乘積累加，除以140，即得日老化率。
   口訣：對稱編號，去整留零，累加號乘零，除以140。
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3 擬合誤差
   擬合誤差指求截距與斜率的誤差。
   斜率K的簡化（嚴格式）表達為：
               K = ∑[sub]j=(-n)→n [/sub](f[sub]j [/sub]–f[sub]r[/sub])j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]          （6）

   （6）式中，f[sub]r[/sub]可以隨意取值，因此K的測量誤差與測量fj時的系統誤差的恒定值無關。測量晶振老化率用原子頻標，其系統誤差為恒定值（無頻率漂移）。因此誤差來自原子頻標與比對器的隨機誤差。隨機誤差取“方和根”。
   令f[sub]r[/sub]=0,有
               K =∑[sub]j=(-n)→n[/sub] f[sub]j [/sub]j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]                   （7）
   將f[sub]j [/sub]表達為：
               f[sub]j [/sub]= f[sub]jo[/sub] + ξ                                                             （8）
   （8）式代入（7）
               K =∑[sub]j=(-n)→n [/sub](f[sub]jo[/sub]+ξ)j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
                  =∑[sub]j=(-n)→n [/sub]f[sub]jo [/sub]j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
                     +∑[sub]j=(-n)→n [/sub]ξ j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]                （9）
   由（9）知，K 的誤差為
               ΔK=∑[sub]j=(-n)→n[/sub] ξ j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]
               K[sub]σ[/sub]=∑[sub]j=(-n)→n[/sub] σ j / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]                   （10）
   測量用同一原子頻標與比對器。各次測量，隨機誤差相同，因此σ可提出來。分子成為j的平方求和，j從1到n，結果乘2.
               K[sub]σ[/sub][sup]2[/sup]=2σ[sup]2[/sup]（1[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup]+3[sup]2[/sup]……+n[sup]2[/sup]）/分母2
                     = 2 (1/6) n(n+1)(2n+1) σ [sup]2 [/sup]/分母[sup]2 [/sup]（查數學手冊得知自然數平方之和）
                     = (1/12)(N-1)N(N+1) σ[sup] 2 [/sup] / 分母[sup]2
[/sup]-
               K[sub]σ[/sub] = σ√[(1/12)(N-1)N(N+1)] / 分母
                  = σ√[(1/12)(N-1)N(N+1)] / [(1/12)(N-1)N(N+1)T]

               K[sub]σ[/sub] =(σ/ T) /√[(1/12)(N-1)N(N+1)]                         （11）
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   原子頻標的隨機誤差σ到老化率的傳遞系數，K[sub]σ[/sub] /σ
   取樣間隔時間：日
            N=3 1/√2
            N=5 1/√10
            N=7 1/√28
   取樣間隔時間：0.5日（12小時）
            N=15 1/√70
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附件論最小二乘法
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論最小二乘法.doc (292 KB, 下載次數: 46)
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包括有關最小二乘法計算的三個材料：
《新概念測量學》（中卷）p8
《新概念測量學》（下卷）p52
《駁不確定度論一百六十篇集》p340
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作者: solarup 時間: 2017-4-21 13:04
本帖最后由 solarup 于 2017-4-21 13:09 編輯

附件的內容才是真詳實，爽。說實話內容對我這種不怎么懂時間測量的，要啃有些吃力，有的看了。
不過我不太明白，想請教史老師，線性變化率，也就是∑j=(-n)→n (fj –fr) j / [(N-1)N(N+1)T/12] 這個，T為采樣周期，說明線性變化率是采樣周期算出來的，T的改變會引起K的改變。可是為什么說線性變化率和時間是獨立的量呢？

作者: 史錦順 時間: 2017-4-22 12:30

solarup 發表于 2017-4-21 13:04
附件的內容才是真詳實，爽。說實話內容對我這種不怎么懂時間測量的，要啃有些吃力，有的看了。
不過我不太 ...

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1 分子分母的對消作用
   你只注意到分母中有T（采樣周期），忽視了分子中頻率變化。一個周期（T），頻率變化是KT, 則2個周期是2KT，三個周期是3KT，分子與分母中T的作用對消了，因此測得值K與T無關。
   T取1日時K的測得值，同T=0.5日時K的測得值，若測量設備（原子鐘與比對器）誤差可略時，二者是相同的。由于頻差測量的誤差，T值取大，則一個周期的頻差大，易于測準。但又要考慮工作量。對新研制的原子頻標（如銣頻標）的漂移率的測量，T取一星期，則需42周日（N=7）。T取1個月則需整半年（6周月）。晶振是通用儀器，不可能太費時。
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2 相關性的對象
   不確定度體系（包括某些現代誤差理論書籍）所講究的“相關性”，指的是參與合成的各個量的誤差的相關性。不是函數與自變量之間的相關性。函數與自變量之間有明確的函數關系，不存在“不相關”的問題。
   上例之對消情況是特例。求得的K值與T在函數的層次上不相關，但通常函數與自變量是相關的。誤差合成（不確定度合成）的所謂相關性，是指分母的T與分子的頻率偏差值是否相關。很明顯二者強相關。這是在“頻差值”這個層面上說的。但在頻差值的測量誤差（原子頻標與比對器引入）這個層面上說，有另有相關性問題。頻率值的誤差與時間的測定誤差，又顯然不相關。
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3 講究相關性，是誤導
   相關系數的概念來自統計理論，是針對隨機變量而言的，對測量計量中的隨機誤差，可用。但對系統誤差，相關系數的概念沒用。
   1）相關系數的公式，僅能用于隨機誤差。對二系統誤差，計算相關系數僅能得零。就是說，既有隨機誤差又有系統誤差的場合，沒有能用于判斷相關性的公式。
   2）不確定度評定，都“假設不相關”，那是掩耳盜鈴。
   3） GUM與JJF上有關“有系統誤差就可忽略協方差”的條款都是誤導，是錯誤的。
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4 客觀起作用的是交叉系數
   誤差合成（不確定度合成）法，取決于交叉系數。由此，不管相關不相關，兩項大系統誤差合成必須取“絕對和”。
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5 不確定度體系的合成之路走不通
   B類不確定度評定，認定儀器誤差范圍是“均勻分布”，統計方法錯位。對時域統計，系統誤差是恒值，是窄脈沖分布。系統誤差無方差可言。
   二系統誤差項的相關系數不能求。假設“不相關”，是反科學的。科學技術不能假設。
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   總之當今的不確定度合成，對系統誤差，分布搞錯，相關系數不能求，是條走不通的死路。
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作者: solarup 時間: 2017-4-24 16:36

史錦順發表于 2017-4-22 12:30
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1 分子分母的對消作用
你只注意到分母中有T（采樣周期），忽視了分子中頻率變化。一個周期（T ...

非常感謝史老師的解讀。若是沒你的提醒，我還覺得頻率等于時間的倒數，看來我錯把這里的周期等同于時間了。
前段時間我還在問一個關于最小二乘法的問題，現在我覺得可以從幾何的更一般意義上去說：
y=a+bx這個式子，b是斜率，是一個定值，x是一個變化的量，x怎樣變化b都不改變，所以他們本身應該是獨立的
不知道這樣理解可對？

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-24 17:15

solarup 發表于 2017-4-24 16:36
非常感謝史老師的解讀。若是沒你的提醒，我還覺得頻率等于時間的倒數，看來我錯把這里的周期等同于時間了 ...

是不是意思的， X1 X2 …… Xi …… XN,Y1 Y2 …… Yi …… YN 給定后，a和b根據最小二乘法求解，就是個定值了，y=a+bx，而之后x無論如何的選取，都對這個函數式無任何的影響了？

作者: solarup 時間: 2017-4-25 07:38

吳下阿蒙發表于 2017-4-24 17:15
是不是意思的， X1 X2 …… Xi …… XN,Y1 Y2 …… Yi …… YN 給定后，a和b根據最小二乘法求解，就 ...

對，我突然想到，x怎么變，a不是還是那個值嗎？前段時間我考慮用勾股定理這種想法得出相關的結論，是不是有待商榷
其實就是真的一個值是另外一個值得出的話，他們一定相關么？

作者: 史錦順 時間: 2017-4-25 07:40

solarup 發表于 2017-4-24 16:36
非常感謝史老師的解讀。若是沒你的提醒，我還覺得頻率等于時間的倒數，看來我錯把這里的周期等同于時間了 ...

對。理解正確。

作者: 史錦順 時間: 2017-4-25 07:42

吳下阿蒙發表于 2017-4-24 17:15
是不是意思的， X1 X2 …… Xi …… XN,Y1 Y2 …… Yi …… YN 給定后，a和b根據最小二乘法求解，就 ...

對。就是這樣。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-25 09:17

solarup 發表于 2017-4-25 07:38
對，我突然想到，x怎么變，a不是還是那個值嗎？前段時間我考慮用勾股定理這種想法得出相關的結論，是不是 ...

其實就是真的一個值是另外一個值得出的話，他們一定相關么？

個人感覺,一個值是另外一個值得出的話，那一個是輸入量，一個是輸出量，它們之間有對應的函數關系，就不應該用相關不相關來表述了。按照不確定度評定中來看。兩輸入量之間的關系用相關性，相關系數表述。而輸入量和輸出量之間得關系用函數式和靈敏系數表示。

作者: solarup 時間: 2017-4-25 10:37
本帖最后由 solarup 于 2017-4-25 10:49 編輯

吳下阿蒙發表于 2017-4-25 09:17
其實就是真的一個值是另外一個值得出的話，他們一定相關么？

個人感覺,一個值是另外一個值得出的話，那 ...

你說的很對。就像史老師說的，如果是整個模型來看的話，當然相關了。
但是我還是關注于y=ax+b這個直線的基礎模型。a和x都是輸入量么？應該說是的，而且a確實也是由x得出的。
但是a在這里并非是由x直接得出的，而是根據最小二乘法得出的。得出的a是斜率，一個定值。一旦計算出來，a是不變的，而x是一個隨機變量。
所以并非說是一個簡單的勾股定理的問題，或者說用啥勾股定理也不對，這里是斜率，就是用也是用a=y/x，前天我腦子短路了。不過，我覺得直接用這個也不對，最小二乘法中間還有其他步驟，而不是直接得出斜率。

如果我寫：
y=ax+b
a=y/x
上面的方程組來看，因為y在第一個式子作偽輸出量，第二個式子作偽輸入量，應該是屬于一個負反饋模型，別的我不知道，我學過負反饋的作用是產生一個恒穩態，也就是一個定值，難道就是說這個a么？我覺得兩個式子放在一起就是一個非線性的模型了。
就像史老師說的k值，雖然t會變化，但是因為分子的f把其約掉了，所以最后的k是不變的，兩者還是不相關。

這里我覺得以下的幾個結論不知道對不對：

如果一個輸入量是另外一個輸入量得出的，相關的可能性很大。但是不見得必然相關，比如上面這個情況，要具體問題具體分析才行。

作者: 吳下阿蒙 時間: 2017-4-25 12:09
本帖最后由吳下阿蒙于 2017-4-25 12:10 編輯

solarup 發表于 2017-4-25 10:37
你說的很對。就像史老師說的，如果是整個模型來看的話，當然相關了。
但是我還是關注于y=ax+b這個直線的 ...

y=a+bx 我知道您在考慮之前的那個問題，但我感覺那個公式中sa，sb，sx進行合成，是因為這個a和b在用最小二乘法計算時，其實求出的是一個最佳擬合線，故a和b存在標準差，或者說存在一個范圍的。就好比不確定度評定中，一個標準電阻阻值R，它必然是個定值，但它會依然引入一個不確定度分量。
R=U/I，按這個公式R是由U和I計算出來的，但大家都知道電阻阻值R是定值，是和U，I無關的。。。如果真要計算相關性的話，應該相關性為0.

作者: solarup 時間: 2017-4-25 12:47

吳下阿蒙發表于 2017-4-25 12:09
y=a+bx 我知道您在考慮之前的那個問題，但我感覺那個公式中sa，sb，sx進行合成，是因為這個a和b在用最小 ...

我覺得，要考慮模型和現實之間的差距
歐姆定律算出來的R是定值，和最小二乘法的斜率是定值，兩者是不同的。
最小二乘法中的斜率定值，是x是隨機變量，但是無論在概率上取何值，擬合出來的直線斜率是不變的。
但是歐姆定律不是，U和I不同時，R的值并非定值，U和I在概率上取值的不同，會得出不同的R，只有他們并非隨機變量時，才能得出固定的R值

作者: 君臨城下 時間: 2017-5-1 22:25
非常感謝。

作者: hlm350521 時間: 2017-5-10 10:22
非常感謝。

作者: njlyx 時間: 2017-5-10 12:08

吳下阿蒙發表于 2017-4-25 12:09
y=a+bx 我知道您在考慮之前的那個問題，但我感覺那個公式中sa，sb，sx進行合成，是因為這個a和b在用最小 ...

是有個"應用場景"問題要事先明確---

如果"系統參數"a、b由某一組"輸入"、"輸出"觀測數據[x]~[y]"擬合"所得，那它們與此組[x]的"相關性"通常應該是"不容忽視"的。……但實際應用中可能不存在通過琢磨其"相關性"的大小來"估算"那組"輸出"數據[y]的"散布"大小---這組[y]的觀測數據是"已知"的，直接"統計"可得其"散布"的大小，弄清爽了不會"繞"著轉圈。

若是"擬合"所用以外的另一組"輸入"數據[x]，則擬合所得的"系統"參數與其"相關性"通常或許是可以忽略的。

作者: 新新宸 時間: 2017-5-16 08:12
這個必須要留言，保留了學習，謝謝計量前輩無私的分享~~！！！！

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