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計(jì)量論壇

標(biāo)題: 不確定度理論的五大難關(guān)(3)——可疑又難懂的自由度 [打印本頁]

作者: 史錦順 時(shí)間: 2014-8-11 10:45
標(biāo)題: 不確定度理論的五大難關(guān)(3)——可疑又難懂的自由度
本帖最后由史錦順于 2014-8-11 11:04 編輯

不確定度理論的五大難關(guān)(3)

——第三關(guān)：可疑又難懂的自由度

史錦順

（一）自由度該有自由

自由度的概念，本來是個(gè)嚴(yán)肅的物理概念。物理中，自由度又稱“維數(shù)”。戰(zhàn)場(chǎng)上，坦克是二維運(yùn)動(dòng)，可以橫沖直撞，坦克的位置，由經(jīng)度、緯度來確定。是二維的。經(jīng)度可能取各種值，是一個(gè)自由度；維度可以取各種值，是一個(gè)自由度，一共是兩個(gè)自由度。飛機(jī)有經(jīng)度、緯度、高度三個(gè)自由度。潛水艇有經(jīng)度、緯度、水平面下深度三個(gè)自由度。航空母艦及水面艦艇船只，只有經(jīng)度緯度兩個(gè)自由度。由于空間的三維性，宇宙雖大，而每個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，最多有三個(gè)自由度。

每一維都可以取各種值，不受限制，固有其名曰：“自由度”。火車在某段路上，可以前進(jìn)后退，卻不能脫離鐵路線橫行，又不能做垂直地面的運(yùn)動(dòng)，因此火車在三維空間中，兩維受限制，只有一個(gè)自由度。

數(shù)學(xué)中，函數(shù)有N個(gè)變量，就稱有N個(gè)自由度。說得過去。因?yàn)槊總€(gè)變量都可自由取值。

函數(shù) f(x,y)=x+y，x可以自由取值，y可以自由取值，有兩個(gè)自由度。如果給定一種關(guān)系，x-y=c，c是常數(shù)，則自變量可以代換掉一個(gè)，y=c+x，則函數(shù)變成f(x)=2x+c。原來是兩個(gè)自變量即兩個(gè)自由度；加一個(gè)條件限制，自變量成為一個(gè)，自由度減少一個(gè)。

由上可知，自由度，該有自由。

不確定度宣貫以來，說取N個(gè)示值，就是N個(gè)自由度。我認(rèn)為由此稱說自由度，自由度就太多了。一個(gè)自由度取一個(gè)數(shù)，哪還有“自由”的味道？

統(tǒng)計(jì)測(cè)量的書中，確有N次獨(dú)立測(cè)量，有N個(gè)自由度的說法。我反對(duì)不確定度理論，卻不敢也不該反對(duì)統(tǒng)計(jì)理論。反復(fù)思考，統(tǒng)計(jì)理論意義下的自由度，我認(rèn)為是如下的意思。

一場(chǎng)測(cè)量，N次取值。

M場(chǎng)測(cè)量，每場(chǎng)N次取值，總共有MN個(gè)數(shù)據(jù)。

橫排是次數(shù)，縱排是場(chǎng)數(shù)，有

11，12， …… 1 N

21，22， …… 2N

↓ ↓ ↓

M1 M2 …… MN

統(tǒng)計(jì)理論說N次獨(dú)立測(cè)量有N個(gè)取值，有N個(gè)自由度。由此討論遵從統(tǒng)計(jì)理論的不確定度理論的自由度。

（二）疑問：貝塞爾公式的自由度是N-1嗎？

不確定度論講究自由度。第一處講自由度，說貝塞爾公式的自由度是n-1。我認(rèn)為，這是錯(cuò)誤的。

n是數(shù)據(jù)量，即獨(dú)立測(cè)量的個(gè)數(shù)。統(tǒng)計(jì)理論的自由度，應(yīng)是有多少個(gè)獨(dú)立測(cè)量，就有多少個(gè)數(shù)據(jù)，就有多少自由度。自由度是對(duì)獨(dú)立測(cè)量說的，是對(duì)數(shù)據(jù)說的，自由度是多少，本質(zhì)說的是數(shù)據(jù)有多少個(gè)取值的可能。標(biāo)準(zhǔn)方差中是用偏差Xi-EX，是n個(gè)自由度，怎么到貝塞爾公式中用平均值代替數(shù)學(xué)期望，數(shù)據(jù)量還是n個(gè)，而自由度竟變成n-1了？如果取值的自由度是n-1,則應(yīng)是有n-1個(gè)數(shù)據(jù)就決定一切了，第n個(gè)數(shù)據(jù)不起作用，是個(gè)沒有自由度的必然量。這是不符合事實(shí)的，n個(gè)數(shù)據(jù)，哪個(gè)也不能少。例如取2個(gè)數(shù)據(jù)，是2個(gè)自由度，如果已知二數(shù)據(jù)之和為b，則知道X1，必知X2是b-X1,因而是1個(gè)自由度。但取殘差平方和時(shí)是一個(gè)也不能少的。具體計(jì)算一下。

[X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個(gè)也不能缺，仍是2個(gè)自由度。

因此，說殘差之和等于零是一個(gè)約束條件，即限制數(shù)為1。由此可得自由度n= n - 1。這句話是不對(duì)的。n個(gè)數(shù)據(jù)的自由度是n,而不是n-1。公式中用到數(shù)據(jù)之和，設(shè)為Z，這是多出一個(gè)值，自由度該加1，而多出的Z等于數(shù)據(jù)之和是約束條件，要減去1，自由度加1又減1，還是n。

結(jié)論：貝塞爾公式的自由度是n，而不是n-1。您說，對(duì)嗎？

（三）弱化自由度

學(xué)習(xí)不確定度理論的人都知道，自由度是個(gè)難點(diǎn)。正確的客觀規(guī)律，有實(shí)際用途的知識(shí)，再難也該學(xué)。但不確定度論講的自由度，一開始就不對(duì)（即將n誤解為n-1）；以后的內(nèi)容，更難；至于對(duì)不對(duì)，天知道。反正像老史這樣的北大物理系六年制的畢業(yè)生，又經(jīng)五十年苦讀、求真的人，就認(rèn)可是自己學(xué)不懂。那么有多少人能學(xué)懂會(huì)用呢？學(xué)不懂，只好抄。可笑的是，一個(gè)樣板評(píng)定，估計(jì)國家計(jì)量院的可信度是80%，由此算等效的自由度。國家計(jì)量院的可信度，這樣低，那個(gè)自由度就很難讓人相信了。

2011年2月，JJF1059.1《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》規(guī)范修訂起草小組，提出“本規(guī)范弱化了對(duì)給出自由度的要求”，這是正確的。說明，在中國計(jì)量界的學(xué)術(shù)高層，已認(rèn)識(shí)到自由度無用的本質(zhì)。

自由度的概念，無實(shí)際用途，難解難算，樣板評(píng)定中有人用，除數(shù)據(jù)量的自由度取n-1（這是錯(cuò)的）外，都是些隨意的估計(jì)。筆者的意見是：既然弱化，就弱化到零吧。

既然自由度可以“弱化”，不確定度論就該弱化。

最后，對(duì)比一下。

誤差理論，不講究自由度。不學(xué)、不用自由度。一切正常，這是正路。

不確定度理論，弄出個(gè)自由度來，還要求每個(gè)測(cè)量結(jié)果都說明自由度。而人們對(duì)自由度又學(xué)不懂、不會(huì)用。逼得人們違心地去抄襲，去蒙混；這實(shí)在是對(duì)計(jì)量人的褻瀆。怨氣滿腔的計(jì)量工作者，認(rèn)清不確定度論的偽科學(xué)本質(zhì)，堅(jiān)決反對(duì)不確定度論！

作者: 崔偉群 時(shí)間: 2014-8-12 11:58
史老的評(píng)論走上了正軌，支持下。

作者: 史錦順 時(shí)間: 2014-8-12 12:19
本帖最后由史錦順于 2014-8-12 12:35 編輯

謝謝崔先生的鼓勵(lì)

作者: thearchyhigh 時(shí)間: 2014-8-21 09:36
本帖最后由 thearchyhigh 于 2014-8-21 09:37 編輯

自由度n-1。這是用高中數(shù)學(xué)的知識(shí)都能解譯的，還在討論，更別說大學(xué)的概率論。。簡(jiǎn)單通俗的說，這個(gè)自由度是針對(duì)偏差的，不是針對(duì)測(cè)量值。即"x(i)-x(平）"，不是“x(i)”。而n*x(平）=x(1)+...x(n)“，交換一下：【x(1)+...+x(n-1) 】- (n-1)*x(平）=x(平）-x（n)。。再交換一下【x(1)-x(平）】+... 【x(n-1)-x(平）】=-【x(n）-x（平)】，看出來了吧，前n-1個(gè)偏差可以決定最后一個(gè)偏差。。。。。。。。

作者: zhoujidai 時(shí)間: 2014-8-21 10:23
n取多少，與評(píng)定的人有關(guān)，勤勞的、勤快的取得大點(diǎn)，懶惰的、偷奸耍滑的取得少點(diǎn)，呵呵，這也充分體現(xiàn)了不確定度的本質(zhì)：不確定嘛。

作者: 史錦順 時(shí)間: 2014-8-24 08:14
本帖最后由史錦順于 2014-8-24 08:24 編輯

回復(fù) 4# thearchyhigh

   先生說：
   自由度n-1。這是用高中數(shù)學(xué)的知識(shí)都能解譯的，還在討論，更別說大學(xué)的概率論。簡(jiǎn)單通俗的說，這個(gè)自由度是針對(duì)偏差的，不是針對(duì)測(cè)量值。即"x(i)-x(平）"
-
   史辯：
   先生把自由度的問題看得極簡(jiǎn)單，認(rèn)為沒有討論的價(jià)值。并且不無諷刺地說，高中數(shù)學(xué)知識(shí)都可以解決，更別說大學(xué)。把老史貶到初中以下去了。
   統(tǒng)計(jì)學(xué)明確規(guī)定：自由度是針對(duì)“獨(dú)立采樣量”講的；不是針對(duì)計(jì)算的量（中間量）說的。x(i)-x(平）叫殘差，是計(jì)算量，不是“獨(dú)立采樣量”。其中的X(平)是n個(gè)“獨(dú)立采樣量”計(jì)算出來的，少一個(gè)都不行。因此，既然“獨(dú)立采樣量”是n,自由度就是n,而不是n-1. 如果測(cè)量?jī)x器測(cè)得的是差值（例如被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值），那時(shí)自由度多少取決于“差值”的多少。因?yàn)榇藭r(shí)的“差值”是“獨(dú)立采樣量”。
-
   我認(rèn)為：取得學(xué)術(shù)研究成果的關(guān)鍵有兩條：一是敢置疑，二是靠實(shí)踐。實(shí)踐最基本，但置疑卻是打開科學(xué)寶庫的鑰匙。如果上了書的，就認(rèn)為當(dāng)然正確，那將難有突破。
   這倒使想起幾個(gè)故事，詳見《駁不確定度論一百六十篇集》（P333）。雖然本網(wǎng)發(fā)表過，許多新網(wǎng)友可能不知道。題目是《創(chuàng)新始于置疑》。學(xué)術(shù)討論有些枯燥，看點(diǎn)文藝性的回憶錄，也許是個(gè)調(diào)劑。我寫了二百多篇學(xué)術(shù)性文章，有些網(wǎng)友奇怪，看了我的這篇文章，也許能得些啟發(fā)。本想在這里復(fù)印一下，怕浪費(fèi)版面，請(qǐng)網(wǎng)友自己查吧。如有網(wǎng)友希望在這里看，我再復(fù)制。
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作者: njlyx 時(shí)間: 2014-8-24 09:33
本帖最后由 njlyx 于 2014-8-24 09:38 編輯

回復(fù) 1# 史錦順

對(duì)于例子【具體計(jì)算一下。

[X1-(X1+X2)/2]^2 + [X2-(X1+X2)/2]^2 =(X1-X2)^2 /4

式中X1、X2都在，哪個(gè)也不能缺，仍是2個(gè)自由度。】

——從結(jié)果來看，其‘自由度’好像是只有一個(gè)了：只與差值 △X=（X1-X2）有關(guān)了！

在“評(píng)估”出“測(cè)量不確定度”時(shí)，給出相應(yīng)的“自由度”真的是沒有什么實(shí)際意義的，在沒有人“保證”所論‘隨機(jī)量’究竟服從什么‘分布’的情況下，由“自由度”表達(dá)對(duì)‘分布’參數(shù)的‘評(píng)估’質(zhì)量，基本是‘扯淡’！ ....“測(cè)量不確定度”的“評(píng)估”‘自由度’只有假想條件下的‘學(xué)術(shù)’意義---可能只對(duì)“數(shù)學(xué)”有意義！......“測(cè)量不確定度”的實(shí)際“評(píng)估”質(zhì)量只能由“實(shí)踐”來‘檢驗(yàn)’--- 對(duì)于“基準(zhǔn)”以下“對(duì)象”的“測(cè)量不確定度”，可以依靠“上級(jí)”來‘核查’，或由人們可以確認(rèn)的效應(yīng)來判斷；對(duì)于“基準(zhǔn)”的“不確定度”（不準(zhǔn)確度）---這只是少數(shù)‘專家’的事情，不知有多少是給了‘自由度'的？

作者: 規(guī)矩灣錦苑 時(shí)間: 2014-8-24 11:56
　　我一直都在強(qiáng)調(diào)不確定度不是誤差也不是誤差范圍，不確定度的作用是定量評(píng)判測(cè)量結(jié)果的“可疑度”或可信性、可靠性。誤差理論告訴我們?nèi)魏螠y(cè)量結(jié)果都不是符合定義的“被測(cè)量真值”，都含有大小不等的誤差。因此，我們必須建立一種思維，對(duì)任何測(cè)量結(jié)果都應(yīng)該先打個(gè)問號(hào)表示懷疑，“我在我的工程中使用這個(gè)測(cè)量結(jié)果可靠嗎？”，這就是可信性問題，不確定度就是為了解決這個(gè)可信性或可靠性的量化評(píng)判問題。在解決了這個(gè)疑問后才能放心大膽的使用或廢棄這個(gè)計(jì)量結(jié)果。
　　我現(xiàn)在先回避n次測(cè)量后以其平均值作為測(cè)量結(jié)果的自由度是n還是n－1，僅就這個(gè)n次測(cè)量結(jié)果的可靠性而言，自由度是否有存在價(jià)值的問題談?wù)剛€(gè)人的觀點(diǎn)。前面說過不確定度是評(píng)判測(cè)量結(jié)果“可疑度”的參數(shù)，換句話說就是對(duì)測(cè)量結(jié)果的否定之大小，不確定度又是人為估計(jì)的結(jié)果難道不值得懷疑嗎？“自由度”就是對(duì)不確定度的懷疑參數(shù)，是對(duì)不確定度的否定之大小。根據(jù)否定之否定就是肯定的哲理，不確定度越小測(cè)量結(jié)果越可信，自由度是不確定度的否定，是測(cè)量結(jié)果的否定之否定，因此自由度越大測(cè)量結(jié)果越可信。
　　如此看來，以平均值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，測(cè)量次數(shù)n越多自由度也就越大，自由度越大測(cè)量結(jié)果越可靠也就是順理成章了。所以自由度還是有其存在價(jià)值的，這并不僅僅是少數(shù)專家的事，只不過因?yàn)槿藗儗?duì)上級(jí)技術(shù)機(jī)構(gòu)的測(cè)量結(jié)果歷來是信任的，信任的程度甚至都達(dá)到了100%。但不確定度評(píng)定理論仍然認(rèn)為任何測(cè)量結(jié)果都有其不可信性（不確定度），哪怕是唯一的計(jì)量基準(zhǔn)，其誤差不可測(cè)得而視為０，也仍然有其不確定度。JJF1059.1-2012的表4就是對(duì)上級(jí)技術(shù)機(jī)構(gòu)測(cè)量結(jié)果的懷疑程度與自由度之間的關(guān)系。例如你對(duì)上級(jí)檢定結(jié)果的懷疑程度0.10（即10%)，自由度就是50，懷疑程度越大自由度越小，懷疑程度越小自由度就越大，一點(diǎn)都不懷疑，自由度就是∞。一般來說除了理論計(jì)算的量值、人們（國際上）共同約定的量值和極其穩(wěn)定的國際基準(zhǔn)、國家基準(zhǔn)的量值自由度可以取∞，我們可以完全相信外，其它任何測(cè)量結(jié)果都應(yīng)給予不同程度的懷疑，給予不同大小的自由度。

作者: 史錦順 時(shí)間: 2014-8-24 15:04
本帖最后由史錦順于 2014-8-24 15:14 編輯

回復(fù) 7# njlyx

先生說：從結(jié)果來看，其‘自由度’好像是只有一個(gè)了：只與差值 △X=（X1-X2）有關(guān)了。

史辯：差值△X=（X1-X2），就是兩個(gè)自由度。△X由獨(dú)立采樣量X1與X2共同決定，哪個(gè)也不能少，因此必是兩個(gè)自由度。如果給定一個(gè)條件X1+X2=C,C是常數(shù)，則X1、X2中可以代換一個(gè)，也就是獨(dú)立采樣只有一個(gè)，才能說自由度為1. 這個(gè)限定條件是真限定。

原式

△X=X1-X2 （1）

因已限定

X1+X2=C （2）

有

X2= C-X1 （3）

（3）式代入（1）式有

△X=X1-（C-X1）

=2X1-C （4）

我說：原差值是兩個(gè)自由度，加一個(gè)限制條件，變成一個(gè)自由度，這是說得通的。

如先生的說法，（1）的自由度是1，加上（2）的限制，（4）的自由度就是零了。這顯然不通。有一個(gè)X1在，它是獨(dú)立測(cè)量，就必須是一個(gè)自由度。如果說著眼點(diǎn)是差值，那2X1-C也是差值，自由度應(yīng)該是1，而不是零。

對(duì)σ的自由度來說，平均值是n個(gè)獨(dú)立采樣值的計(jì)算結(jié)果，必須用n個(gè)值計(jì)算，一個(gè)都代換不掉。如果給定平均值是常數(shù)差C，那就可以代換掉一個(gè)采樣值，而自由度成為n-1.可惜，平均值是n個(gè)采樣值的計(jì)算結(jié)果，必須n個(gè)值到齊才行。

還有一點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)的自由度，由獨(dú)立變量決定，與函數(shù)表達(dá)式無關(guān)。

Y=X1+X2+X3+X4+X5，和數(shù)只有一個(gè)，能說是一個(gè)自由度嗎？不能。自由度應(yīng)該是5。

阿侖方差的統(tǒng)計(jì)單元是二量之差。每組二值，連續(xù)采樣；取30組，差值是30個(gè)，但獨(dú)立采樣是60個(gè)值，只能說在自由度60.因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)理論規(guī)定獨(dú)立采樣數(shù)等于自由度.當(dāng)然，阿侖方差不講究沒有實(shí)際用途的自由度。我的《測(cè)量計(jì)量學(xué)》也絕不提一句“自由度”這種廢話，因?yàn)樗鼘?shí)在沒用。沒法實(shí)驗(yàn)核對(duì)，也沒法實(shí)驗(yàn)證否。

還有，如果函數(shù)是Y=(X1-X2)+(X1^2-X2^2)+(X1^3-X2^3),雖然差值有三種，因獨(dú)立變量只有X1與X2兩個(gè)，也僅能說自由度是2，而不能說是3，更不能說是1.

作者: 史錦順 時(shí)間: 2014-8-24 15:35
回復(fù) 8# 規(guī)矩灣錦苑

把不確定度就當(dāng)做“誤差范圍”（置信概率不同），這已是很多人的共識(shí)，GUM的區(qū)間公式，VIM3的包含真值的區(qū)間，也都表明了這一點(diǎn)。你老先生還是堅(jiān)持那個(gè)“可信性”“可疑度”之類的說法，那是你的自由，我不再就此問題與您對(duì)話了（其他方面當(dāng)然可以討論），都說三年了，你不改口，還自以為正確，這不全怪你，你不過是上了當(dāng)初不確定度論宣傳的當(dāng)。你該結(jié)合那些不確定度評(píng)定的樣板，再想一想計(jì)量的實(shí)際，哪有什么“可信性”？都是誤差范圍嗎！
-

作者: 規(guī)矩灣錦苑 時(shí)間: 2014-8-24 19:32
回復(fù) 10# 史錦順

　　把不確定度就當(dāng)做“誤差范圍”（置信概率不同）雖然可能是業(yè)內(nèi)一些人的共識(shí)，但這個(gè)“共識(shí)”顯然違背了術(shù)語“不確定度”的定義最本質(zhì)的含義。“區(qū)間公式”是不存在的，VIM3的包含真值的區(qū)間存在，但不確定度只是這個(gè)區(qū)間的“寬度”（半寬），不是這個(gè)“區(qū)間”，不確定度并不關(guān)心區(qū)間在哪里，只表述該區(qū)間的寬度，我認(rèn)為在探討不確定度理論時(shí)，誤差、誤差范圍、不確定度、區(qū)間、區(qū)間寬度、準(zhǔn)確性、可信性（可靠性）等基本術(shù)語必須明確，不能相互混雜，相互替代。
　　不確定度是人們憑所掌握的測(cè)量過程全部信息估計(jì)出來的被測(cè)量真值存在區(qū)間的半寬，和測(cè)量結(jié)果的誤差及誤差范圍的大小毫無關(guān)系，只不過是被用來定量評(píng)判測(cè)量結(jié)果的可信性罷了。
　　“可疑度”的說法并不是我個(gè)人的發(fā)明，而是GUM在提出不確定度定義時(shí)一開始就認(rèn)定的，我只不過認(rèn)為這個(gè)提法的確可以非常簡(jiǎn)單明了地與誤差和誤差范圍評(píng)定的準(zhǔn)確性加以區(qū)分，因此強(qiáng)調(diào)了它，特別提醒大家必須嚴(yán)格區(qū)分不確定度與誤差范圍的本質(zhì)區(qū)別，千萬不要將它們相混淆。一旦有絲毫的混淆或混同，用誤差理論來解釋不確定度，用準(zhǔn)確性解釋可信性，就必然陷入不確定度不可理解，不確定度必須廢除的誤區(qū)之中。
　　實(shí)際測(cè)量工作，包括實(shí)際計(jì)量檢定/校準(zhǔn)工作，都離不開給出測(cè)量結(jié)果（包括檢定結(jié)果和校準(zhǔn)結(jié)果），這些測(cè)量結(jié)果的品質(zhì)高低需要量化評(píng)判，準(zhǔn)確性參數(shù)是其質(zhì)量指標(biāo)之一，但和所有的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)一樣準(zhǔn)確性并非是唯一一個(gè)評(píng)判參數(shù)，的確還有別的質(zhì)量評(píng)判參數(shù)，可信性參數(shù)就是其中之一。準(zhǔn)確性雖然很重要，但準(zhǔn)確性很高的測(cè)量結(jié)果可信性達(dá)不到要求同樣不能采用而必須廢除，另外選擇測(cè)量方法重新測(cè)量，往往準(zhǔn)確性與可信性兩者，可信性是首先考慮的條件，只有保證了可信性滿足要求，才能進(jìn)一步考慮測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性是否達(dá)標(biāo)。可信性和準(zhǔn)確性均達(dá)到質(zhì)量要求的測(cè)量結(jié)果才能決定“產(chǎn)品”合格，這個(gè)合格的測(cè)量結(jié)果才可被用來判定被測(cè)對(duì)象的符合性。

作者: njlyx 時(shí)間: 2014-8-24 21:49
回復(fù) 9# 史錦順

關(guān)于統(tǒng)計(jì)量估計(jì)的“自由度”算法，本人是無力深究。一下是有人在網(wǎng)上發(fā)的東西(http://www.baidu.com/s?ie=utf-8&f=8&rsv_bp=1&ch=&tn=baidu&bar=&wd=%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%8F%82%E6%95%B0+%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%BA%A6&rn=&rsv_enter=0&inputT=18938)，似有道理....

例1：
估計(jì)總體的平均數(shù)（

）時(shí)，由于樣本中的

個(gè)數(shù)都是相互獨(dú)立的，任一個(gè)尚未抽出的數(shù)都不受已抽出任何數(shù)值的影響，所以自由度為

。
例2：
估計(jì)總體的方差（

）時(shí)所使用的統(tǒng)計(jì)量是樣本的方差

，而

必須用到樣本平均數(shù)

來計(jì)算。

在抽樣完成后已確定，所以大小為

的樣本中只要

個(gè)數(shù)確定了，第

個(gè)數(shù)就只有一個(gè)能使樣本符合

的數(shù)值。也就是說，樣本中只有

個(gè)數(shù)可以自由變化，只要確定了這

個(gè)數(shù)，方差也就確定了。這里，平均數(shù)

就相當(dāng)于一個(gè)限制條件，由于加了這個(gè)限制條件，樣本方差

的自由度為

。

作者: njlyx 時(shí)間: 2014-8-24 21:51
本帖最后由 njlyx 于 2014-8-24 21:57 編輯

回復(fù) 9# 史錦順

關(guān)于統(tǒng)計(jì)量估計(jì)的“自由度”算法，本人是無力深究。以下是有人在網(wǎng)上發(fā)的東西(itongji.cn,鏈接發(fā)不了！)，似有道理....

例1：
估計(jì)總體的平均數(shù)（

）時(shí)，由于樣本中的

個(gè)數(shù)都是相互獨(dú)立的，任一個(gè)尚未抽出的數(shù)都不受已抽出任何數(shù)值的影響，所以自由度為

。
例2：
估計(jì)總體的方差（

）時(shí)所使用的統(tǒng)計(jì)量是樣本的方差

，而

必須用到樣本平均數(shù)

來計(jì)算。

在抽樣完成后已確定，所以大小為

的樣本中只要

個(gè)數(shù)確定了，第

個(gè)數(shù)就只有一個(gè)能使樣本符合

的數(shù)值。也就是說，樣本中只有

個(gè)數(shù)可以自由變化，只要確定了這

個(gè)數(shù)，方差也就確定了。這里，平均數(shù)

就相當(dāng)于一個(gè)限制條件，由于加了這個(gè)限制條件，樣本方差

的自由度為

。

作者: 規(guī)矩灣錦苑 時(shí)間: 2014-8-25 00:29
　　樓上轉(zhuǎn)發(fā)的自由度算法我認(rèn)為是有道理的，談?wù)撟杂啥纫欢ㄒf清楚是什么東西的自由度。
　　當(dāng)做n次測(cè)量計(jì)算其測(cè)得值的平均值時(shí)，每個(gè)樣本（每次測(cè)量）都是獨(dú)立和自由的，缺一不可，因此作為最終測(cè)量結(jié)果的平均值受到n個(gè)測(cè)量值的影響，每個(gè)測(cè)得值有一個(gè)自由度，平均值的自由度就是n。
　　在實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（σ）計(jì)算中，必須用到貝塞爾公式。自由度是“和的項(xiàng)數(shù)減去對(duì)和的限制數(shù)”，n次測(cè)量有n個(gè)測(cè)得值，和的項(xiàng)數(shù)就是n，對(duì)和的限制只有一個(gè)，即平均值與每個(gè)（次）測(cè)得值的差得到各次測(cè)得值的殘余誤差（簡(jiǎn)稱殘差），殘差的平方和除以（n－1）開平方得到σ，因此計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差（σ）時(shí)，受到了一次最小二乘法的限制，其自由度為n－1。如果測(cè)得n組結(jié)果按最小二乘法擬合的校準(zhǔn)曲線確定t個(gè)被測(cè)量時(shí)，限制數(shù)變成了t個(gè)，自由度將是n－t。如果另外還有其它r個(gè)約束條件（限制數(shù)），自由度則為n―t―r。總之自由度由測(cè)量次數(shù)n及約束條件個(gè)數(shù)所決定。如果僅僅計(jì)算平均值，則因?yàn)闆]有約束條件，即約束條件t＝０，所以平均值的自由度為n－0＝n。不確定度評(píng)定中的各分量自由度就是按照這個(gè)原則和JJF1059.1-2012的表4對(duì)上級(jí)測(cè)量結(jié)果的懷疑程度與自由度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定的，

作者: thearchyhigh 時(shí)間: 2014-8-25 11:56
回復(fù) 6# 史錦順

首先明確自由度是“不確定度的自由度”，不確定度主要分量是什么? 是標(biāo)準(zhǔn)偏差；標(biāo)準(zhǔn)偏差是通過什么計(jì)算的？是殘差的平方合再開方；那不確定的自由度不跟殘差關(guān)聯(lián)，和什么關(guān)聯(lián)？

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