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史錦順
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在測(cè)量計(jì)量領(lǐng)域，誤差是極其重要的概念。
誤差是測(cè)得值與被測(cè)量真值的差距。這不很簡(jiǎn)單嗎？是的，理解對(duì)，很簡(jiǎn)單；稍有誤解，就出問(wèn)題。
也許有人說(shuō)：沒(méi)那么嚴(yán)重吧？老史夸大其詞。
好，咱們來(lái)看看近二十年的國(guó)際計(jì)量界。
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1993年，國(guó)際計(jì)量委員會(huì)通過(guò)以GUM為標(biāo)志的“不確定度論”。由于七大國(guó)際學(xué)術(shù)組織（后來(lái)是八個(gè)）的聯(lián)合推薦，整個(gè)國(guó)際計(jì)量界，風(fēng)云突變。
一場(chǎng)不確定度風(fēng)潮，攪得周天寒徹。八大國(guó)際學(xué)術(shù)組織聯(lián)合推薦，國(guó)家計(jì)量主管部門(mén)強(qiáng)力推行。宣貫、宣講，學(xué)習(xí)班如雨后春筍；考試、考核、督導(dǎo)、檢查，轟轟烈烈；這二十年，說(shuō)話，要說(shuō)不確定度論專用的語(yǔ)言；干事，要按不確定度論特定的方法。幾乎是一場(chǎng)大規(guī)模的運(yùn)動(dòng)，一場(chǎng)測(cè)量計(jì)量界的“概念大革命”。許多人有意見(jiàn)，沒(méi)人理；但凡說(shuō)個(gè)“不”字，就可能被扣個(gè)“不合格”，夠你受的。但是，人們的意見(jiàn)越來(lái)越多，怨氣越來(lái)越大。為什么？人們逐漸認(rèn)識(shí)到：不確定度論不是好東西！
人們不禁要問(wèn)：這場(chǎng)風(fēng)是怎么刮起來(lái)的呢？
原來(lái)，如此巨大風(fēng)暴，竟起源于一個(gè)小小的誤解。那就是把誤差僅僅理解為“測(cè)得值減真值”。這就和網(wǎng)上最近的討論聯(lián)系起來(lái)了。前邊的引語(yǔ)，話題大了些；但也說(shuō)明，本次討論有比問(wèn)題本身更重要的意義。我們說(shuō)清平均值誤差比單值誤差小的道理，也就刺穿了不確定度論那個(gè)大大的肥皂泡。
一些人認(rèn)為：?jiǎn)未螠y(cè)量有一半的機(jī)會(huì)是隨機(jī)誤差抵消系統(tǒng)誤差，因此單次測(cè)量與多次測(cè)量的誤差那個(gè)大，不一定。這種不定說(shuō)，本是錯(cuò)誤的意見(jiàn)，卻似乎有理而占了上風(fēng)。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的議論呢？筆者認(rèn)為，這是近二十年來(lái)推行不確定度論的壞影響。推行不確定度論以來(lái)，“不確定”的思想泛濫，本來(lái)多次測(cè)量誤差小、精密測(cè)量要進(jìn)行多次測(cè)量，這是測(cè)量計(jì)量業(yè)的行規(guī)，是極確定的觀念，是基本常識(shí)，現(xiàn)在也“不確定”了。
從學(xué)術(shù)理論來(lái)說(shuō)，國(guó)際規(guī)范GUM與VIM，都把誤差定義為測(cè)得值減真值，是個(gè)可正可負(fù)的量，這樣就抹煞了“誤差范圍”的地位與作用。而測(cè)量計(jì)量的本質(zhì)與核心，正是“恒正”的“誤差范圍”，而不是“可正可負(fù)”的誤差。要糾正國(guó)際規(guī)范的誤導(dǎo)，老史的辦法有兩條：第一區(qū)分誤差概念為誤差元與誤差范圍兩個(gè)概念；第二，反復(fù)強(qiáng)調(diào)誤差范圍概念的重要性。
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要講清道理，我得耐心地講；誰(shuí)想弄明白，也得耐心地看。其中核心是誤差范圍的概念與地位。
一句話表明本文的主題：測(cè)量計(jì)量的根基是準(zhǔn)確，準(zhǔn)確度就是誤差范圍。
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（一）誤差概念家族
誤差一詞，是翻譯來(lái)的，就漢語(yǔ)來(lái)說(shuō)，不很確切。其實(shí)是“測(cè)差”或“識(shí)差”。誤差是表明測(cè)量得到的值（測(cè)得值）與被測(cè)量的客觀實(shí)際值的差距。“誤差”就是量值上的差別，是必然有的，既不是“錯(cuò)誤”，也不是“差錯(cuò)”。怎么叫，也并非多么重要；一個(gè)科學(xué)概念，關(guān)鍵是下嚴(yán)格的定義，用定義來(lái)明確其內(nèi)涵和外延。
誤差是誤差理論的基本術(shù)語(yǔ)。其前其后加附加成分，就形成關(guān)于誤差的術(shù)語(yǔ)大家族。
1 誤差； 2 誤差范圍； 3 系統(tǒng)誤差； 4 隨機(jī)誤差； 5 分辨力誤差；6 復(fù)現(xiàn)性誤差； 7 基本誤差； 8 附加誤差； 9 最大允許誤差； 10 極限誤差； 11 引用誤差； 12 絕對(duì)誤差；13 相對(duì)誤差； 14 誤差絕對(duì)值； 15 誤差修正值； 16 標(biāo)準(zhǔn)誤差； 17 最可幾誤差； 18 誤差分析； 19 誤差合成； 20 誤差理論……
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（二）誤差元與誤差范圍
誤差，是個(gè)泛指的概念。一般地表示測(cè)得值與真值的差距。誤差包含誤差元與誤差范圍兩個(gè)概念。科學(xué)，要求概念明確。術(shù)語(yǔ)必須嚴(yán)格定義。尊重已有歷史習(xí)慣，本文給出如下定義。
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定義一 誤差元
誤差元等于測(cè)得值減真值。可正可負(fù)。
定義二 誤差范圍
誤差范圍是誤差元的絕對(duì)值的一定概率（3σ，99.73%）意義下的最大可能值。恒正。
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有人說(shuō)，老史無(wú)故標(biāo)新立異，玩弄新名詞。這話不當(dāng)。誤差一詞的兩個(gè)含義，是誤差理論與人們的日常用語(yǔ)習(xí)慣中早就有的。老史只是說(shuō)清楚而已。
例如，單項(xiàng)的誤差分析，“誤差”指誤差元。
說(shuō)測(cè)量?jī)x器誤差，“誤差”指誤差范圍。《最新電子測(cè)量?jī)x器》一書(shū)列數(shù)十個(gè)“測(cè)量誤差”指標(biāo)值，這里的“誤差”都是指誤差范圍。
說(shuō)誤差理論，其中的“誤差”是個(gè)泛指概念，既包括誤差元，也包括誤差范圍，也包括種種誤差概念。因?yàn)椋v誤差理論，不能只講那個(gè)“測(cè)得值減真值”的誤差元。
只加一個(gè)“元”字，可以澄清許多混淆，為什么不可以？本網(wǎng)那位發(fā)言積極的規(guī)矩灣錦苑版主，對(duì)我這個(gè)“元”字很反感，多次表態(tài)“反對(duì)”，甚至誣陷是老史在制造混亂。我在仔細(xì)考慮之后確認(rèn)：元字必須加。不理解是你的事。正確的東西我必須堅(jiān)持。
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一個(gè)“元”字可以破解那個(gè)震撼國(guó)際計(jì)量界的“測(cè)量佯謬”。
GUM說(shuō)：“誤差等于測(cè)得值減真值，被測(cè)量真值不知，誤差不可求”。而可以評(píng)估不確定度。描紅的那二十二個(gè)字，是對(duì)誤差理論的嚴(yán)厲的指錯(cuò)、是根本的否定。這是多么厲害的一刀啊，是挖心術(shù)，你誤差理論的核心是誤差，誤差不能求，你誤差理論就沒(méi)有用處，就該廢除。不確定度能評(píng)，大家都來(lái)學(xué)不確定度、用不確定度。請(qǐng)看官注意，本文開(kāi)頭的那段描述推行不確定度的熱鬧場(chǎng)面，不就是在這種喧囂聲中形成的嗎？
人們不禁要問(wèn)：誤差真的不可求嗎？若如此，那人們這近代的測(cè)量計(jì)量又都是咋干的呢？一切科學(xué)技術(shù)、所有工業(yè)，全部貿(mào)易，都得用測(cè)量?jī)x器或量具，都與誤差理論有關(guān)，難道人們?nèi)e(cuò)了嗎？
在人們冷靜思考之后，必須果斷地說(shuō)：不確定度對(duì)誤差理論的攻擊，毫無(wú)道理。不確定度論的指錯(cuò)，根本就不是誤差理論的問(wèn)題，而是個(gè)“測(cè)量佯謬”，“佯謬”就是“假錯(cuò)”。
原來(lái)，這里就缺少個(gè)“元”字。被測(cè)量真值未知，確實(shí)不能計(jì)算誤差元。但這有什么不妥呢？原來(lái)人們測(cè)量之前是必定根據(jù)準(zhǔn)確度要求而選用測(cè)量?jī)x器的。稱煤炭，用臺(tái)秤；稱肉，用電子案秤；而稱金戒子要用天平。人們是知道測(cè)量?jī)x器的誤差范圍的。而誤差范圍正是誤差元的最大可能值。
大臺(tái)秤的誤差范圍約0.1kg，稱煤可以，稱1kg肉就不行，誤差大。電子案秤誤差范圍大致3 g，稱菜稱肉，都是可以的。如果用電子案秤稱金戒指，誤差就太大了，買賣雙方都不會(huì)同意，而要用誤差范圍10mg以下的天平。
以上的例子很通俗，但和任何精密測(cè)量的道理是一樣的。就是說(shuō)：測(cè)量中用的是“誤差范圍”。人類社會(huì)是個(gè)有組織的整體，任何可以應(yīng)用的測(cè)量?jī)x器，都在生產(chǎn)時(shí)確定了“誤差范圍指標(biāo)”，在計(jì)量中確認(rèn)、公證了“誤差范圍指標(biāo)”。計(jì)量就是公證測(cè)量?jī)x器的實(shí)際誤差范圍不大于誤差范圍指標(biāo)值。計(jì)量法規(guī)定：不經(jīng)計(jì)量合格的測(cè)量?jī)x器不得使用（示教儀器除外），因此，人們測(cè)量時(shí)，在得知測(cè)得值的同時(shí)，是知道測(cè)得值的誤差范圍的。測(cè)量者用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)值作為測(cè)得值的誤差范圍，是冗余代換，是方便的，也是合理的。
無(wú)論是普通測(cè)量還是極精密的測(cè)量，道理是一樣的，測(cè)量者知道誤差范圍就足夠了，沒(méi)必要去計(jì)算那個(gè)誤差元。就是說(shuō)，誤差元的概念很重要，但由它構(gòu)成的誤差范圍，才是實(shí)用的。因此，“真值未知，誤差元不能計(jì)算”是確實(shí)的，但這種計(jì)算本身，對(duì)測(cè)量者是不必要的。能夠知道“誤差范圍”就足夠了，因?yàn)榭赡艿恼`差元（99.73%的概率）不大于“誤差范圍”。
由上可知，不確定度論對(duì)誤差理論的攻擊，是無(wú)效攻擊。因?yàn)橹勒`差范圍就足夠了，測(cè)量者既沒(méi)可能、也沒(méi)必要去進(jìn)行“測(cè)得值減真值”的操作。
在測(cè)量?jī)x器的研制的場(chǎng)合，在計(jì)量的場(chǎng)合，有時(shí)要計(jì)算誤差元，但研制測(cè)量?jī)x器、計(jì)量測(cè)量?jī)x器，都必須有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，也就是有相對(duì)真值，求誤差元是可以的。當(dāng)然，求得的誤差元自身也有誤差范圍，但可以選用夠格的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，使考察誤差時(shí)的誤差，可以忽略。
二十年的實(shí)踐，我們知道了不確定度論的老底，原來(lái)它也得靠誤差范圍。不知誤差范圍，就一個(gè)不確定度也評(píng)不出來(lái)（單靠A類評(píng)定，只知平均值的σ，不行；B類評(píng)定的核心內(nèi)容是利用已知的誤差范圍指標(biāo)）。反對(duì)誤差理論，又不得不用誤差理論的成果，這就是不確定度論的假大空。
區(qū)分誤差元與誤差范圍，竟可以破解測(cè)量樣謬，這個(gè)“元”字不該加嗎？
我們必須明確：誤差元是構(gòu)成誤差范圍的元素；由誤差元構(gòu)成的誤差范圍，才是測(cè)量計(jì)量講究的主體概念。
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（三）測(cè)量?jī)x器研制與誤差范圍指標(biāo)
測(cè)量?jī)x器是測(cè)量的工具，是測(cè)量手段的核心。研究制造測(cè)量?jī)x器，是測(cè)量計(jì)量行業(yè)的基礎(chǔ)。測(cè)量?jī)x器的主要指標(biāo)有量程、分辨力、準(zhǔn)確度等。而標(biāo)致測(cè)量?jī)x器水平的是準(zhǔn)確度。準(zhǔn)確度就是誤差范圍。準(zhǔn)確度是褒稱，誤差范圍是實(shí)質(zhì)。誤差范圍又稱最大允許誤差、極限誤差、誤差限、引用誤差、總誤差、準(zhǔn)確度、準(zhǔn)確度等級(jí)等。歷史上還有絕對(duì)值平均誤差、最可幾誤差、均方根誤差等，三者與誤差范圍性質(zhì)相近（恒正），而數(shù)值要乘個(gè)系數(shù)。
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研制測(cè)量?jī)x器，必須實(shí)現(xiàn)誤差范圍指標(biāo)。
首先要找到能實(shí)現(xiàn)測(cè)量準(zhǔn)確度的物理機(jī)制。列出物理公式。寫(xiě)出計(jì)值公式。聯(lián)立物理公式與計(jì)值公式，得到測(cè)量方程。給出測(cè)得值函數(shù)。
在測(cè)量?jī)x器中，被測(cè)量的量值Y是諸Xi的函數(shù)，諸Xi是構(gòu)成Y的來(lái)源量。
在測(cè)量方程中，各量成對(duì)。被測(cè)量的測(cè)得值Ym與被測(cè)量Y是一對(duì)。被測(cè)量Y是客觀存在，是常量，而被測(cè)量的測(cè)得值Ym是變量。決定Y的各來(lái)源量Xi，各有一個(gè)Xm或Xo與其對(duì)應(yīng)。如Xi與Xim對(duì)應(yīng)，則Xi是常量，Xim是變量；若Xj與Xjo對(duì)應(yīng)，則Xj是變量，而Xjo是常量。
設(shè)物理公式為：
Y = f(X1,X2,……XN) （1）
計(jì)值公式為：
Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) （2）
式中斜杠“/”表示“或”。m表示測(cè)得值，o表示標(biāo)稱值。m/o表示或者是測(cè)得值m，或者是標(biāo)稱值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.
聯(lián)立（1）（2）二式，二者相除，得：
Ym/Y = f(X1m/O,X2m/O,……,XNm/O)/ f(X1,X2,……XN) （3）
聯(lián)立（1）（2）二式，二者相減，得：
Ym―Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)―f(X1,X2,……XN) （4）
(3)、(4)都是測(cè)量方程，依應(yīng)用方便而選用。
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測(cè)得值函數(shù)為
Ym = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN) + Y （5）
誤差元函數(shù)為
Ym – Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN)
合成誤差元的絕對(duì)值的最大值為
│Ym – Y│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)-f(X1,X2,……XN)│max （6）
這個(gè)“合成誤差元絕對(duì)值的最大可能值”就是誤差范圍，記（6）式右端為R, 有
│Ym – Y│max= R （7）
解絕對(duì)值方程（7）
當(dāng)Ym＞Y時(shí)，有
Ym = Y + R （8）
當(dāng)Ym＜Y時(shí)，有
Ym = Y– R （9）
綜合（8）式、（9）式，有
Ym = Y ± R （10）
（10）式由（5）式推得，（10）與（5）等效。因此，測(cè)得值公式（10）是測(cè)得值函數(shù)式的簡(jiǎn)化表達(dá)。
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將（10）式表為相對(duì)值形式，記R/Y = δ
Ym = [1 ± δ ]Y （11）
Ym/Y通常表為M/Z，M是測(cè)得值，Z是被測(cè)量的真值。測(cè)得值函數(shù)的理想情況是M/Z等于1。[1 ±δ]表明測(cè)得值與真值之間的函數(shù)關(guān)系，而其參量就是誤差范圍。因此誤差范圍就代表了測(cè)得值函數(shù)，就表明了測(cè)量?jī)x器的性能。
（10）式、（11）式都是測(cè)得值函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式。這種表達(dá)式具有非常簡(jiǎn)明的形式，參數(shù)就是誤差范圍。原來(lái)，誤差范圍竟是測(cè)得值函數(shù)的體現(xiàn)。
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上述分析表明，誤差范圍表征測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值函數(shù)，表達(dá)了測(cè)得值對(duì)真值的函數(shù)關(guān)系。誤差范圍指標(biāo)由制造廠給出，是測(cè)量?jī)x器性能的總的表達(dá)。在以后的計(jì)量與測(cè)量中，檢查的是誤差范圍指標(biāo)，測(cè)量中應(yīng)用的也是誤差范圍指標(biāo)。
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（四）計(jì)量與誤差范圍
計(jì)量是檢驗(yàn)測(cè)量?jī)x器的合格性，就是實(shí)測(cè)測(cè)量?jī)x器的性能，看它是否符合誤差范圍指標(biāo)。
4.1 計(jì)量中的測(cè)得值區(qū)間
計(jì)量的基本概念是真值、誤差元、誤差范圍。測(cè)得值區(qū)間。
誤差范圍是測(cè)得值區(qū)間的半寬。關(guān)于計(jì)量中的測(cè)得值區(qū)間，推導(dǎo)如下。
設(shè)被測(cè)量（計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)）的真值為Z，測(cè)得值為M，誤差元為r,誤差元絕對(duì)值的最大值為R。計(jì)量時(shí)，真值唯一，而測(cè)得值是個(gè)變量。
R=│r│max=│M–Z│max （12）
解絕對(duì)值方程（12）
當(dāng)M＞Z，有
R=(M–Z)max=M(大)–Z
M(大)=Z+R （13）
當(dāng)M＜Z，有
R=(Z–M)max=Z–M(小)
M(小)=Z–R （14）
由（13）（14）式，得到測(cè)得值M的范圍是
[Z–R,Z+R] （15）
計(jì)量中的測(cè)量結(jié)果為
M = Z±R （16）
（16）式表達(dá)的是這樣一種事實(shí)：依靠一個(gè)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)去計(jì)量一大批同一型號(hào)的測(cè)量?jī)x器；各臺(tái)儀器的測(cè)得值不同，而真值（標(biāo)準(zhǔn)的值）只有一個(gè)。
由上，計(jì)量中有標(biāo)準(zhǔn)，以其值當(dāng)真值，則測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值區(qū)間，是以真值為中心、以測(cè)量?jī)x器誤差范圍為半寬的測(cè)得值區(qū)間。
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4.2 計(jì)量的定量計(jì)算
測(cè)量是用測(cè)量?jī)x器測(cè)量被測(cè)量，以確定被測(cè)量的量值；計(jì)量時(shí)的具體操作是用測(cè)量?jī)x器測(cè)量計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，因已知標(biāo)準(zhǔn)的量值，由此來(lái)考察測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值對(duì)真值的偏差。
設(shè)標(biāo)準(zhǔn)的真值為Z，標(biāo)稱值為B，儀器示值為Mi，測(cè)量N次。
1 求平均值M(平)
2 按貝塞爾公式求單值的σ
3 求平均值的σ(平)
σ(平) = σ/√N
4 求測(cè)量點(diǎn)的系統(tǒng)誤差
R(系)= │M(平)－B│ （17）
5 平均值的隨機(jī)誤差是3σ(平)
6 被檢測(cè)量?jī)x器示值的隨機(jī)偏差是3σ
7 被檢測(cè)量?jī)x器的誤差范圍由系統(tǒng)誤差R(系)、確定系統(tǒng)誤差時(shí)的測(cè)量誤差3σ(平)與示值的隨機(jī)誤差3σ合成。因有第3項(xiàng)，第二項(xiàng)可略。因系以標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值為參考得出，稱其為誤差范圍實(shí)驗(yàn)值，記為
R(實(shí)驗(yàn))= R(系) + 3σ （18）
8 被檢測(cè)量?jī)x器的誤差范圍（以真值為參考的真誤差范圍）
R = R(實(shí)驗(yàn)) + R(B)
= R(系) + 3σ+R(B) （19）
R(B)是所用標(biāo)準(zhǔn)的誤差范圍。
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4.3合格性判別與操作的注意事項(xiàng)
由于測(cè)量?jī)x器的可能測(cè)量點(diǎn)很多，任何測(cè)量點(diǎn)不合格就是儀器不合格，計(jì)量必須找誤差范圍的最大可能值。合格性的判別式為
R(實(shí)驗(yàn)) max ≤ R(標(biāo)稱) – R(B) （20）
注意，誤差范圍是誤差元絕對(duì)值的最大可能值，因此計(jì)量時(shí)要找誤差元的最大可能值。測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)是就量程的各個(gè)點(diǎn)而言的，因此要找各點(diǎn)的誤差范圍值的最大值。
在檢定工作中，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可采用如下計(jì)算與判別方式：設(shè)Δ是儀器測(cè)得值與標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)稱值之差，若
│Δ│max ≤ R(標(biāo)稱) – R(B) （21）
則被檢測(cè)量?jī)x器合格。若標(biāo)準(zhǔn)的誤差可略，（18）式簡(jiǎn)化為
│Δ│max ≤ R(標(biāo)稱) （22）
為充分顯現(xiàn)誤差元的最大可能值，要根據(jù)測(cè)量?jī)x器的特點(diǎn)，合理的設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值。標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)稱值要有足夠的細(xì)度、足夠的量值范圍，合理的分布。檢定中，要有足夠的采樣點(diǎn)，有足夠的測(cè)量次數(shù)。要重點(diǎn)針對(duì)測(cè)量?jī)x器的薄弱點(diǎn)。總的原則是要找到測(cè)量?jī)x器誤差的最大可能值。
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在上述關(guān)于計(jì)量的討論中，核心概念是誤差范圍。因?yàn)橛?jì)量場(chǎng)合有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，誤差元是可以求的，但求誤差元是過(guò)渡，最后都要落實(shí)到誤差范圍上。
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（五）測(cè)量與誤差范圍
測(cè)量得到測(cè)得值，又知道所用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)。測(cè)量者就用測(cè)量?jī)x器的誤差范圍指標(biāo)當(dāng)做測(cè)得值的誤差范圍，這是合理的，也是方便的
測(cè)量時(shí)，得到確定的測(cè)得值，是唯一值（單一的讀數(shù)值或N個(gè)讀數(shù)值的平均值）。而被測(cè)量的真值，有多種可能，從可能值Z(小)到可能值Z(大)。
解絕對(duì)值方程（12）
當(dāng)Z＞M，有
R=(Z–M)max=Z(大)–M
Z(大)=M+R （23）
當(dāng)Z＜M，有
R=(M–Z)max=M–Z(小)
Z(小)=M–R （24）
由（23）（24）式，得到真值的范圍是
[M–R,M+R] （25）
測(cè)量中的測(cè)量結(jié)果是
Z = M ± R （26）
（26）式通常記為
L= M ± R （27）
（26）式很重要。這就是測(cè)量給出的測(cè)量結(jié)果。測(cè)量結(jié)果是真值范圍。
真值就是實(shí)際值。測(cè)量結(jié)果就是被測(cè)量的實(shí)際值范圍。測(cè)量結(jié)果等于測(cè)得值加減誤差范圍。測(cè)量結(jié)果在一定概率（99.73%）意義下包含真值。
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（六）談測(cè)量誤差，著眼點(diǎn)應(yīng)該是誤差范圍，不能講究誤差元。
回到網(wǎng)上討論的問(wèn)題，比較單次測(cè)量值和平均值的誤差，關(guān)鍵就是要講究誤差范圍，而不能看誤差元。人們用的是誤差范圍，比較也必須比較誤差范圍。平均值的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)誤差，是σ(平)，σ(平)等于單值的σ的根號(hào)N分之一。
設(shè)測(cè)量?jī)x器的系統(tǒng)誤差范圍為R(系)，多次測(cè)量，用貝塞爾公式算σ。單次測(cè)量，隨機(jī)誤差范圍為3σ；而N次測(cè)量，平均值的隨機(jī)誤差范圍為3σ(平)。
甲測(cè)量一次，測(cè)量的誤差范圍是 R(單)= R(系)+ 3σ
乙測(cè)量N次，用平均值當(dāng)測(cè)得值，測(cè)得值的誤差范圍是R(N)=R(系) + 3σ(平)
甲乙的系統(tǒng)誤差相同。而乙的隨機(jī)誤差范圍是甲的根號(hào)N分之一。
因此，精密測(cè)量要進(jìn)行多次測(cè)量，取平均值，誤差范圍小。也就是準(zhǔn)確度高。
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還有一個(gè)問(wèn)題是“誤差元”這個(gè)量的特殊性。一般的量，要求量值確定得準(zhǔn)確。上偏差與下偏差的不利影響，大致對(duì)稱。誤差元這個(gè)量與一般量不同，有個(gè)上限要求，可以小，而不能大。當(dāng)誤差元小于誤差范圍范圍要求時(shí)，誤差小雖然好，但好處不明顯。而一旦誤差大到一定程度，誤差增大的害處，十分嚴(yán)重。因此，對(duì)稱分布的隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差合成，單值誤差元使總誤差減小的那一側(cè)，作用微弱，幾乎不起實(shí)際作用；而單值誤差元使總誤差增大的另一側(cè)，則可能影響嚴(yán)重，甚至可能有災(zāi)難性的后果，因此，不能等同地看待單次測(cè)量誤差元在兩側(cè)的作用。
結(jié)論：精密測(cè)量要進(jìn)行多次測(cè)量。平均值的誤差范圍比單次測(cè)量的誤差范圍小。
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