誤差方程的新概念（擴充本）
史錦順
-
測量講究準確，準確是測量的精髓。計量以標準的準確，保證測量儀器的準確，準確是計量的命脈。
量是物質、物體、現象的可定量區分并可定量確定的屬性。物理量的量值是客觀存在。真值是量的客觀值、準確值。
準確性用誤差來衡量。誤差是測得值與真值的差距。誤差一詞有雙重含義：誤差元與誤差范圍。誤差元定義為測得值減真值，是可正可負的量。誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值，又稱最大允許誤差。由于隨機誤差的存在以及系統誤差的某些隨機性，誤差范圍是個統計量。誤差范圍是非負的值。在人們的習慣用語中，誤差范圍又簡稱為誤差。誤差元的概念，只在誤差理論一開始時用；而在誤差理論主要表達中，特別是在實際應用中，所稱的誤差，都是指誤差范圍。
誤差范圍的概念，實際應用中又區分為幾種。
A 誤差范圍。以真值為參考標準的誤差元絕對值的最大可能值，有人稱其為真誤差范圍，本文簡稱為誤差范圍，測量儀器的誤差范圍記為R，N級計量標準的誤差范圍記為R(N)。
測量儀器與計量標準的誤差范圍，又稱最大允許誤差，是測量儀器與計量標準的標志性指標，是由技術規范標明的。測量儀器的誤差范圍，由儀器說明書規定，由計量部門的檢定證書確認。測量儀器的使用者，要知道說明書的規定，要驗明檢定證書或檢定標志。
B 誤差范圍目標值。以上級計量標準為參考標準的誤差范圍稱誤差范圍的實驗值。誤差范圍的實驗值的標稱值，稱誤差范圍的目標值，記為R(T)。按誤差方程算得。
C 誤差范圍實測值。以上級計量標準為參考標準，實測得到的誤差范圍（誤差元的最大可能值），稱誤差范圍的實測值,記為R(M)。
例如，我國砝碼檢定規程（與國際標準等同），對2kg的M2等砝碼，規定誤差范圍是300mg[R(M2)],規程又規定其誤差范圍目標值是200mg[R(T,M2)。實際測量時以M1等砝碼為參考標準，要求實測的誤差范圍[多次測量的誤差元的最大可能值,R(M)]即誤差范圍實測值,必須小于或等于誤差范圍的目標值（200mg，請注意，不是砝碼指標標定的300mg）,才能判為合格。本文揭示上述A、B、C三種誤差范圍的理論關系。
-
1 誤差方程的基本形式
1.1 測量儀器
M表示測得值，Z表示被測量的真值。Z(N).表示N級標準的真值，M(N)為N級標準儀器的測得值。B為標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。
r = M - Z
R =｜M - Z｜(最大值) （1）
先把絕對值式(1)解開，變成兩個式子，再取其中的大者。
檢驗測量儀器的誤差，要用該測量儀器去測量N級計量標準。測得值是M；N級標準的真值是Z(N)。
當M > Z(N)時，絕對值式（1）的解是
R = M(最大) – Z(N)
R = M(最大) –B(N) + B(N) – Z(N)
R = R(實驗A) + R(N)
接下樓
當 M < Z(N)時，絕對值式（1）的解是
R = Z(N) – M(最小)
對此式右邊加減標準的標稱值
R = B(N) - M(最小) + Z(N) – B(N)
R = R(實驗B) + R(N)
得到的R(實驗A) 與R(實驗B)二者中的大者作為 R(實驗)，則有
R = R(
實驗)＋R(N) （2）-
1.2 計量標準
Z(N).表示N級標準的真值，B(N)為N級標準的標稱值。要確定N級標準器的誤差，要用上一級標準即N-1級標準器構成一臺N-1級標準測量儀器。N-1級標準測量儀器由N-1級標準器加比較儀器構成。要求比較儀器引入誤差可略，于是N-1級標準測量儀器與N-1級標準器誤差相同。用N-1級標準測量儀器測量N級標準器，得M(N-1)。
r(N)= B(N) – Z(N)
R(N) =｜B(N) – Z(N)｜(最大值) （3）
先把絕對值式(3)解開，變成兩個式子，再取其中的大者。
當B(N) > Z(N)時
R(N) = B(N) – Z(N)
R(N) = B(N) –M(N-1)+ M(N-1) - Z(N)
R(N) = R(N,實驗A) + R(N-1)
當B(N) < Z(N)時
R(N) = Z(N) –B(N)
R(N) = M(N-1) - B(N) + Z(N) –M(N-1)
R(N) = R(N,實驗B) + R(N-1)
接下
得到的R(實驗A) 與R(實驗B)二者中的大者作為 R(實驗)，則有
R = R(實驗)＋R(N) （2）
-
1.2 計量標準
Z(N).表示N級標準的真值，B(N)為N級標準的標稱值。要確定N級標準器的誤差，要用上一級標準即N-1級標準器構成一臺N-1級標準測量儀器。N-1級標準測量儀器由N-1級標準器加比較儀器構成。要求比較儀器引入誤差可略，于是N-1級標準測量儀器與N-1級標準器誤差相同。用N-1級標準測量儀器測量N級標準器，得M(N-1)。
r (N)= B(N) – Z(N)
R(N) =｜B(N) – Z(N)｜(最大值) （3）
先把絕對值式(3)解開，變成兩個式子，再取其中的大者。
當B(N) > Z(N)時
R(N) = B(N) – Z(N)
R(N)= B(N) –M(N-1)+ M(N-1) - Z(N)
R(N) = R(N,實驗A) + R(N-1)
當B(N) < Z(N)時
R(N) = Z(N) –B(N)
R(N) = M(N-1) - B(N) + Z(N) –M(N-1)
R(N) = R(N,實驗B) + R(N-1)
取R(N,實驗A) ,R(N,實驗B)之大者為R(N,實驗)
則有
R(N) = R(N,實驗) + R(N-1) (4)
(2)、(4)式是誤差方程的基本形式。
-
2 量傳誤差方程
量值傳遞是計量的基本工作方式。將基準的量值，在保證特定誤差范圍的條件下，逐級傳遞給計量標準，直至測量儀器。測量儀器分級，表現不同的技術水平，如電表的分級。計量標準的等級概念，等一般表示地位從屬關系，上一等標準是下一等標準的計量參考標準。級則僅表明準確性水平的高低。
接下
計量標準以誤差范圍R(N)（以真值為參考標準）來表征。
標準序號 0（基準） 1等 2等 3等 …… N-1等 N等
誤差范圍 R(0) R(1) R(2) R(3) R(N-1) R(N)
誤差范圍 R(0) KR(0) K^2R(0) K^3 R(0) K^(N-1)R(0) K^NR(0)
R(0)是基準的誤差范圍，不是靠上一等標準來測量，而有專門的測量與評定方法。
R(i)表第i等標準的以真值為參考標準的誤差范圍。又簡稱真誤差。
K是量值傳遞因子，誤差范圍之比，下一等比上一等。K=1/q 。
R(實驗測)是以上一等標準的標稱值為參考標準的誤差范圍的實測值。記為R(M).
R(實驗標)是以上一等標準的標稱值為參考標準的誤差范圍的標稱值。又稱實驗要求值，或目標值，由計算得出。記為R(T)。R(T)是R(M)的允許的最大可能值。
-
下面求由誤差范圍計算誤差范圍目標值R(T)的公式。
當q不是等值時，q(1/2)表示誤差范圍1級比2級。由（4）式 ，誤差范圍實驗值的標稱值（目標值）第i等，(i為1到N)
R(T,i) = R(i,實驗標)= R(i)- R(i-1)
用q[(i-1)/i]表示i-1等誤差范圍與i等誤差范圍之比，則有
R(T,i) = R(i)（1- R(i-1)/R(i)）
R(T,i) = R(i){1-q[(i-1)/i]} (5)
當各等之間的q值相同或大體相同時，
R(T,i) = R(i)[1-q] (6)
(5)式、（6)式為量傳誤差方程。
-
命題：檢定的判別標準
誤差范圍的以上一等的標準為參考標準的實測值記為R(M,i)。
當
R(M,i) ≤ R(T,i) (7)
時，判為合格；否則不合格。
-
3 溯源誤差方程
3.1 測量儀器溯源誤差方程
M表示測得值，Z表示真值。Z(N).表示N級標準的真值，M(N)為N級標準儀器的測得值。B(N)為N級標準的標稱值。r表示誤差元，R表誤差范圍。
接下
（1）檢驗測量儀器誤差，要用N級標準測量儀器或N級標準器。
A 用被檢測量儀器和N級標準測量儀器同測一量（其真值為Z），被檢測量儀器測得值為M，N級標準測量儀器測得值為M(N)。
M – Z = M – M(N) + M(N) – Z
R = R(實驗) + R(N) （2）
B 用被檢測量儀器測量N級標準器，其標稱值B(N)、真值Z(N)
M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)
R = R(實驗) + R(N) （2）
（2）檢驗N級標準測量儀器的誤差或檢驗N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器或N-1級標準器。
A 測同一量，N級標準測量儀器測得值為M(N)，N-1級測量儀器測得值為M(N-1)
M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z
R = R(N實驗) + R(N-1) （4）
B 用N級標準測量儀器測量N-1級標準器，其標稱值B(N-1)、真值Z(N-1)
M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)
R(N) = R(N實驗) + R(N-1) （4）
C 測量N級標準器的誤差，要用N-1級標準測量儀器來測它
B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)
R(N) = R(N實驗) + R(N-1) （4）
（3）同理可知
R(N-1) = R(N-1實驗) + R(N-2)
R(N-2) = R(N-2實驗) + R(N-3)
……
R(2) = R(2實驗) + R(1);
R(1) = R(1實驗) + R(0)
R0是基準誤差，由基準給出。
以上各式逐一寫出，并用后式代替前式的最后一項，有
R = R(實驗) + R(N)
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1)
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2)
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + R(N-3)
以下再代換掉R(N-3)……，最后成為
R = R(實驗) + R(N實驗) + R(N-1實驗) + R(N-2實驗) + ……
+ R(2實驗) + R(1實驗) + R(0,實驗)
量值傳遞關系決定的級間誤差范圍之比值（上一級比下一級）為系數q，將以上各級誤差實驗值表為R(N實驗)的倍數（^表乘方，*表相乘）
R = R(實驗) + R(N實驗) + qR(N實驗) +q^2 *R(N實驗) +……
+ q^(N-2)*R(N實驗) + q^(N-1)*R(N實驗) +q^N *R(N實驗)
第2項以后把公因子R(N實驗)提出，成為首項為1，比值為q的N+1項的等比級數，
R = R(實驗) + R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ] （8）
等比級數求和，略去q的高階項q^(N+1)。
結果為
R = R(實驗) + R(N實驗)/(1-q) (9)
3.2計量標準溯源誤差方程
對N等計量標準(包括已納入計量系列的測量儀器)，(8)式改寫為：
R(N)= R(N實驗) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]
解得
R(N) = R(N實驗)/(1-q) (10)
=
4 誤差方程計算的例
因子計算
q 1/10 1/5 1/4 1/3 1/2
1/(1-q) 1.11 1.25 1.33 1.50 2.00
值得注意的是誤差范圍實驗值對誤差范圍（真誤差范圍）的相對差
[R(實驗) – R] / R =R(實驗) / R – 1 = - q
解決的辦法，砝碼檢定規程是很好的例子，合格性判別時，按（7）式處理。
-
5 誤差方程的意義
推導中每步都用真值，但結果中不包含真值，實現了用標準值對真值的代換。
誤差方程完成的是上級標準值的功效到真值功效的過渡。
誤差方程實現了從誤差實驗值到誤差（即真誤差）的計算。
有了誤差方程，可以解除對誤差理論的疑慮了。誤差方程將在計量、定標各種場合廣泛發揮作用。
-
討論1 本文誤差方程的計算結果與砝碼檢定規程的比較
本文對誤差的概念，區分為誤差元與誤差范圍，指出通常所說的誤差是誤差范圍的簡稱。本文所稱的誤差方程，是誤差范圍方程。
測量得到的每個數據，都對應一個誤差元，由于隨機誤差因素的存在，單個的誤差元，可大可小，甚至可能為零，必須考察誤差元的群體特性。誤差元的可能范圍，是表征誤差元群體的一個實用指標。誤差范圍并不是將測得數據的最大值減最小值，而是用統計的辦法。通常按貝塞爾公式求標準偏差西格瑪，而以三倍西格瑪作為隨機誤差范圍再加系統誤差范圍構成誤差范圍。
本文指出誤差范圍有三種形式：1誤差范圍（以真值為參考標準）；2誤差范圍目標值；3 誤差范圍實測值。本文揭示這三種誤差范圍之間的關系。
1 誤差范圍目標值與誤差范圍的關系
R(T,i) = R(i)[1-q] （6）
2 合格性判別標準-即對誤差范圍實測值的要求
R(M,i) ≤ R(T,i) （7）
將(6)式、(7)式與國家砝碼檢定規程[1]比較，不難看出，檢定規程對正方向的要求與本文計算一致，規程取q的最大值為1/3.負方向要求比本文還嚴。而國際標準[2]，正負方向都與本文一致。
討論2 從砝碼檢定規程看不確定度論的被忽略的地位
仔細分析砝碼的國家規程（2006年）和國際規程（2004年），不難看出，不確定度理論在這兩個規程中，雖然都用了，但總的來說，處于可有可無的地位，其下場是最終被忽略。
1 標志N等砝碼的指標是最大允許誤差，即誤差范圍，是以真值為參考標準的誤差范圍，這是與否定真值、回避真值的不確定度論相對立的。
2 不確定度不是標準的指標，與標準質量無關。
3 規程要求所評定的不確定度必須小于或等于最大允許誤差（誤差范圍）的三分之一，這是對不確定度的極大藐視。
4 不確定度的評定結果，下場是被忽略，并不計入檢定的結果。
5 對N等計量標準的檢定，本來測量與有效的評定應是對N等標準本身，而所進行的不確定度評定，主要內容是上一等（N-1等）標準的誤差范圍，附加儀器（比較器）的誤差，以及一些測量方法的誤差問題，大都是檢定的手段問題，不是N等標準的性能本身。不確定度評定，不是對檢定對象的評定，而成了對檢定條件的評定。而這些對檢定條件的考核，是誤差理論早已解決了的問題。況且不確定度評定的結果偏小，最后的下場是“評定的結果是可以忽略的”。
請注意，砝碼檢定規程的制定者，在中國是國家質量監督檢驗檢疫總局；而國際砝碼檢定規程的制定者是OIML（International Organization of Legal Metrology）即國際法制計量組織。筆者反對不確定度論，有些網友覺得怪，那就請讀一讀我國和國際砝碼檢定規程吧，請看我國最高計量領導機關與國際計量組織在具體的檢定規程中是怎樣藐視不確定度論的！
參考文獻
[1]中華人民共和國國家計量檢定規程 JJG99—2006 砝碼
[2]Weights of classes E1, E2, F1, F2, M1, M1–2, M2, M2–3 and M3
OIML R 111-1 Edition 2004 (E)
[3]中華人民共和國國家計量檢定規程 JJG379-2009 大量程百分表
[4]時間頻率計量名詞術語及定義JJF1180-2007
| 歡迎光臨 計量論壇 (http://www.dy313.com/) | Powered by Discuz! X3.4 |